Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 183

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Переменная

x

пробегает интервал

0<x<1

. Определить, какое множество пробегает переменная

y

, если:

y=a+(b-a)x.

Решение

Идея

y=a+(b-a)x.

Перепишем выражение в более наглядном виде:

y=a-ax+bx=a(1-x)+bx.

Поскольку

0<x<1

, то

0<1-x<1,\qquad x+(1-x)=1.

Итак,

y

представляет собой число, находящееся между

a

b

1
Рассмотрим случаи. Если $a<b$ , то из $0<x<1$ следует $0<(b-a)x<b-a.$ Прибавляя $a$ , находим $a<a+(b-a)x<b,$ то есть $a<y<b$ .
2
Если $a>b$ , то аналогично $b<y<a$ . Если $a=b$ , то $y=a+(a-a)x=a$ при любом $x$ .

Проверка

\boxed{\begin{cases}a<y<b,& a<b,\\b<y<a,& a>b,\\y=a,& a=b.\end{cases}}