Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 186

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Переменная xx пробегает интервал 0<x<10<x<1. Определить, какое множество пробегает переменная yy, если:

Задача 186

y=x−x2.y=\sqrt{x-x^2}.

Решение

Идея

y=x−x2,0<x<1.y=\sqrt{x-x^2},\qquad 0<x<1. Преобразуем выражение под корнем: x−x2=−(x2−x).x-x^2=-\left(x^2-x\right). Выделим полный квадрат: x2−x=(x−12)2−14.x^2-x=\left(x-\frac12\right)^2-\frac14. x−x2=14−(x−12)2.x-x^2=\frac14-\left(x-\frac12\right)^2.
Поскольку 0<x<10<x<1, то −12<x−12<12,-\frac12<x-\frac12<\frac12, поэтому 0≤(x−12)2<14.0\leq\left(x-\frac12\right)^2<\frac14. 0<14−(x−12)2≤14,0<\frac14-\left(x-\frac12\right)^2\leq\frac14, то есть 0<x−x2≤14.0<x-x^2\leq\frac14. Извлекая квадратный корень, находим 0<x−x2≤12.0<\sqrt{x-x^2}\leq\frac12. Максимальное значение 12\frac12 достигается при x=12x=\frac12. Значение 00 не достигается, поскольку x=0x=0 и x=1x=1 не входят в интервал.

Проверка

0<y≤12.\boxed{
0<y\leq\frac12
}.