Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 169

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Определить области существования и множество значений следующих функций:

Задача 169

y=arcsin⁡(lg⁡x10).y=\arcsin\left(\lg\frac{x}{10}\right).

Решение

Идея

Функция y=arcsin⁡(lg⁡x10)y=\arcsin\left(\lg\frac{x}{10}\right) определена при условии −1≤lg⁡x10≤1.-1\leq\lg\frac{x}{10}\leq1. Поскольку десятичный логарифм возрастает, находим 10−1≤x10≤10.10^{-1}\leq\frac{x}{10}\leq10. Умножая на 1010, имеем 1≤x≤100.1\leq x\leq100. D(y)=[1,100].\boxed{D(y)=[1,100]}.
При x∈[1,100]x\in[1,100] выражение lg⁡x10\lg\dfrac{x}{10} принимает все значения от −1-1 до 11. −π2≤y≤π2.-\frac{\pi}{2}\leq y\leq\frac{\pi}{2}.

Проверка

E(y)=[−π2,π2].\boxed{E(y)=\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]}.