Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 171

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 171

В треугольник ABCABC, основание которого AC=bAC=b и высота BD=hBD=h,
вписан прямоугольник KLMNKLMN, высота которого NM=xNM=x.
Выразить периметр PP прямоугольника KLMNKLMN и его площадь SS
как функции от xx. Построить графики функций P=P(x)P=P(x) и S=S(x)S=S(x).
ПостроениеP(x)=2b+2(1−bh)x,S(x)=bhx(h−x),0<x<h\boxed{
P(x)=2b+2\left(1-\frac{b}{h}\right)x,
\qquad
S(x)=\frac{b}{h}x(h-x),
\qquad 0<x<h
}

Построение

Идея

Расположим прямоугольник так, как показано на рисунке: точки KK и NN
лежат на основании ACAC, стороны KLKL и NMNM перпендикулярны ACAC,
а точки LL и MM лежат на боковых сторонах треугольника.
  1. 1
    рисунок к задаче Демидовича № 171

    Идея. Проведём отрезок LM∥ACLM\parallel AC. Малый треугольник над
    прямоугольником подобен всему треугольнику ABCABC. Его высота равна
    h−xh-x, а основание равно LMLM. ПоэтомуLMb=h−xh,LM=b(1−xh)\frac{LM}{b}=\frac{h-x}{h},
    \qquad
    LM=b\left(1-\frac{x}{h}\right)    Обозначим ширину прямоугольника черезw(x)=b(1−xh)w(x)=b\left(1-\frac{x}{h}\right)Тогда его периметр и площадь равныP(x)=2(x+w(x))=2b+2(1−bh)x,S(x)=xw(x)=bx−bhx2=bhx(h−x)\begin{aligned}
    P(x)&=2\bigl(x+w(x)\bigr)
    =2b+2\left(1-\frac{b}{h}\right)x,\\[2mm]
    S(x)&=xw(x)
    =bx-\frac{b}{h}x^2
    =\frac{b}{h}x(h-x)
    \end{aligned}
  2. 2
    Для невырожденного прямоугольника 0<x<h0<x<h. При x→0+x\to0+ и x→h−x\to h-
    прямоугольник стремится к вырожденному положению. Поэтому предельные
    точки при x=0x=0 и x=hx=h показываем на графиках выколотыми.
  3. 3

    Построение графика

    График P(x)P(x) — часть прямой между точками
    (0,2b)(0,2b) и (h,2h)(h,2h), не содержащая этих точек. Поэтому при b>hb>h он
    убывает, при b=hb=h постоянен, а при b<hb<h возрастает.

    Чтобы показать три возможных случая в одной системе координат, введём
    безразмерные переменныеt=xh,r=bh,p=P2ht=\frac{x}{h},
    \qquad
    r=\frac{b}{h},
    \qquad
    p=\frac{P}{2h}    Тогда 0<t<10<t<1 иp(t)=r+(1−r)tp(t)=r+(1-r)tЗначения r=12r=\dfrac12, r=1r=1 и r=2r=2 дают соответственно случаи
    b<hb<h, b=hb=h и b>hb>h. Нормирование меняет только масштаб осей, но не
    форму и направление графика.график к задаче Демидовича № 171

    График S(x)S(x) — часть параболы с ветвями вниз. Квадратичная функция,
    продолжающая S(x)S(x) на отрезок [0,h][0,h], обращается в нуль при x=0x=0 и
    x=hx=h. Сама площадь невырожденного прямоугольника положительна при
    0<x<h0<x<h. Перепишем формулу так:S(x)=bh4−bh(x−h2)2S(x)=\frac{bh}{4}-\frac{b}{h}\left(x-\frac{h}{2}\right)^2Значит, вершина параболы имеет координаты(h2,bh4),\left(\frac{h}{2},\frac{bh}{4}\right),и наибольшая площадь равна bh4\dfrac{bh}{4}.график к задаче Демидовича № 171

Проверка

Ответ.P(x)=2b+2(1−bh)x,S(x)=bhx(h−x),0<x<h\boxed{
P(x)=2b+2\left(1-\frac{b}{h}\right)x,
\qquad
S(x)=\frac{b}{h}x(h-x),
\qquad 0<x<h
}
Демидович № 171 — решение и ответ