Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 184

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Переменная

x

пробегает интервал

0<x<1

. Определить, какое множество пробегает переменная

y

, если:

y=\frac1{1-x}.

Решение

Идея

y=\frac1{1-x},\qquad 0<x<1.

Из неравенства

0<x<1

находим

0<1-x<1

. Значит, знаменатель положителен и меньше единицы.

\frac1{1-x}>1,

значит,

y>1

\boxed{1<y<+\infty}.

Проверка

Покажем, что любое число

y>1

действительно получается. Из равенства

y=\frac1{1-x}

находим

x

y(1-x)=1,\qquad 1-x=\frac1y,\qquad x=1-\frac1y.

Если

y>1

, то

0<\frac1y<1

, следовательно,

0<1-\frac1y<1.

То есть найденное значение

x

действительно принадлежит интервалу

(0,1)