Раздел I. Введение в анализ — § 3

Демидович § 3. Понятие функции

Условия, ответы и подробные решения задач 151–236

Задачи 151–236

86 из 86 с разбором

Аргументы, значения и композиции функций

201–205

Задача 201

Доказать, что если для линейной функцииf(x)=ax+bf(x)=ax+bзначения аргумента x=xnx=x_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) образуют арифметическую прогрессию, то соответствующие значения функции yn=f(xn)y_n=f(x_n) (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) образуют также арифметическую прогрессию.

Задача 202

Доказать, что если для показательной функцииf(x)=ax(a>0)f(x)=a^x\qquad(a>0)значения аргумента x=xnx=x_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) образуют арифметическую прогрессию, то соответствующие значения функции yn=f(xn)y_n=f(x_n) (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) образуют геометрическую прогрессию.

Задача 203

Пусть функция f(u)f(u) определена при 0<u<10<u<1. Найти области определения функций:а) f(sin⁡x);б) f(ln⁡x);в) f ⁣([x]x).\text{а) }f(\sin x);\qquad \text{б) }f(\ln x);\qquad \text{в) }f\!\left(\frac{[x]}x\right).

Задача 204

Пустьf(x)=12(ax+a−x)(a>0).f(x)=\frac12(a^x+a^{-x})\qquad(a>0).Показать, чтоf(x+y)+f(x−y)=2f(x)f(y).f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y).

Задача 205

Пустьf(x)+f(y)=f(z).f(x)+f(y)=f(z).Определить zz, если:а) f(x)=ax;б) f(x)=1x;\text{а) }f(x)=ax;\qquad \text{б) }f(x)=\frac1x;в) f(x)=arctg⁡x (∣x∣<1);г) f(x)=log⁡1+x1−x.\text{в) }f(x)=\operatorname{arctg}x\ (|x|<1);\qquad \text{г) }f(x)=\log\frac{1+x}{1-x}.

Композиции и нахождение функций

206–213
Найти φ[φ(x)]\varphi[\varphi(x)], ψ[ψ(x)]\psi[\psi(x)], φ[ψ(x)]\varphi[\psi(x)] и ψ[φ(x)]\psi[\varphi(x)], если:

Задача 206

φ(x)=x2иψ(x)=2x.\varphi(x)=x^2\quad\text{и}\quad\psi(x)=2^x.

Задача 207

φ(x)=sgn⁡xиψ(x)=1x.\varphi(x)=\operatorname{sgn}x\quad\text{и}\quad\psi(x)=\frac1x.

Задача 208

φ(x)={0,x≤0,x,x>0,ψ(x)={0,x≤0,−x2,x>0.\varphi(x)=\begin{cases}0,&x\le0,\\x,&x>0,\end{cases}\qquad
\psi(x)=\begin{cases}0,&x\le0,\\-x^2,&x>0.\end{cases}

Задача 209

Найти f[f(x)]f[f(x)], f{f[f(x)]}f\{f[f(x)]\}, еслиf(x)=11−x.f(x)=\frac1{1-x}.

Задача 210

Пустьfn(x)=f(f(…f(x)))⏟n раз.f_n(x)=\underbrace{f(f(\ldots f(x)))}_{n\ \text{раз}}.Найти fn(x)f_n(x), еслиf(x)=x1+x2.f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}.

Задача 211

Найти f(x)f(x), еслиf(x+1)=x2−3x+2.f(x+1)=x^2-3x+2.

Задача 212

Найти f(x)f(x), еслиf ⁣(x+1x)=x2+1x2(∣x∣≥2).f\!\left(x+\frac1x\right)=x^2+\frac1{x^2}\qquad(|x|\ge2).

Задача 213

1. Найти f(x)f(x), еслиf ⁣(1x)=x+1+x2(x>0).f\!\left(\frac1x\right)=x+\sqrt{1+x^2}\qquad(x>0).2. Найти f(x)f(x), еслиf ⁣(xx+1)=x2.f\!\left(\frac{x}{x+1}\right)=x^2.

Монотонность функций и неравенства

214–223
Доказать, что следующие функции являются монотонно возрастающими в указанных промежутках:

Задача 214

f(x)=x2(0≤x<+∞).f(x)=x^2\qquad(0\le x<+\infty).

Задача 215

f(x)=sin⁡x(−π2≤x≤π2).f(x)=\sin x\qquad\left(-\frac\pi2\le x\le\frac\pi2\right).

Задача 216

f(x)=tg⁡x(−π2<x<π2).f(x)=\operatorname{tg}x\qquad\left(-\frac\pi2<x<\frac\pi2\right).

Задача 217

f(x)=2x+sin⁡x(−∞<x<+∞).f(x)=2x+\sin x\qquad(-\infty<x<+\infty).
Доказать, что следующие функции являются монотонно убывающими в указанных промежутках:

Задача 218

f(x)=x2(−∞<x≤0).f(x)=x^2\qquad(-\infty<x\le0).

Задача 219

f(x)=cos⁡x(0≤x≤π).f(x)=\cos x\qquad(0\le x\le\pi).

Задача 220

f(x)=ctg⁡x(0<x<π).f(x)=\operatorname{ctg}x\qquad(0<x<\pi).

Задача 221

Исследовать на монотонность следующие функции:а) f(x)=ax+b;б) f(x)=ax2+bx+c;\text{а) }f(x)=ax+b;\qquad \text{б) }f(x)=ax^2+bx+c;в) f(x)=x3;г) f(x)=ax+bcx+d;д) f(x)=ax (a>0).\text{в) }f(x)=x^3;\qquad \text{г) }f(x)=\frac{ax+b}{cx+d};\qquad \text{д) }f(x)=a^x\ (a>0).

Задача 222

Можно ли почленно логарифмировать неравенство?

Задача 223

Пусть φ(x)\varphi(x), ψ(x)\psi(x) и f(x)f(x) — монотонно возрастающие функции. Доказать, что еслиφ(x)≤f(x)≤ψ(x),\varphi(x)\le f(x)\le\psi(x),тоφ[φ(x)]≤f[f(x)]≤ψ[ψ(x)].\varphi[\varphi(x)]\le f[f(x)]\le\psi[\psi(x)].

Обратные функции

224–230
Определить обратную функцию x=φ(y)x=\varphi(y) и ее область существования, если:

Задача 224

y=2x+3(−∞<x<+∞).y=2x+3\qquad(-\infty<x<+\infty).

Задача 225

y=x2;а) −∞<x≤0;б) 0≤x<+∞.y=x^2;\qquad \text{а) }-\infty<x\le0;\qquad \text{б) }0\le x<+\infty.

Задача 226

y=1−x1+x(x≠−1).y=\frac{1-x}{1+x}\qquad(x\ne-1).

Задача 227

y=1−x2;а) −1≤x≤0;б) 0≤x≤1.y=\sqrt{1-x^2};\qquad \text{а) }-1\le x\le0;\qquad \text{б) }0\le x\le1.

Задача 228

y=sh⁡x,где sh⁡x=12(ex−e−x)(−∞<x<+∞).y=\operatorname{sh}x,\quad \text{где }\operatorname{sh}x=\frac12(e^x-e^{-x})\qquad(-\infty<x<+\infty).

Задача 229

y=th⁡x,где th⁡x=ex−e−xex+e−x(−∞<x<+∞).y=\operatorname{th}x,\quad \text{где }\operatorname{th}x=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\qquad(-\infty<x<+\infty).

Задача 230

y={x,−∞<x<1;x2,1≤x≤4;2x,4<x<+∞.y=\begin{cases}x,&-\infty<x<1;\\x^2,&1\le x\le4;\\2^x,&4<x<+\infty.\end{cases}

Чётность и периодичность функций

231–236

Задача 231

Функция f(x)f(x), определенная в симметричном интервале (−l,l)(-l,l), называется четной, еслиf(−x)≡f(x),f(-x)\equiv f(x),и нечетной, еслиf(−x)≡−f(x).f(-x)\equiv-f(x).Определить, какие из данных функций f(x)f(x) являются четными, а какие нечетными:а) f(x)=3x−x3;б) f(x)=(1−x)23+(1+x)23;\text{а) }f(x)=3x-x^3;\qquad \text{б) }f(x)=\sqrt[3]{(1-x)^2}+\sqrt[3]{(1+x)^2};в) f(x)=ax+a−x (a>0);г) f(x)=ln⁡1−x1+x;\text{в) }f(x)=a^x+a^{-x}\ (a>0);\qquad \text{г) }f(x)=\ln\frac{1-x}{1+x};д) f(x)=ln⁡(x+1+x2).\text{д) }f(x)=\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right).

Задача 232

Доказать, что всякую функцию f(x)f(x), определенную в симметричном интервале (−l,l)(-l,l), можно представить в виде суммы четной и нечетной функций.

Задача 233

Функция f(x)f(x), определенная на множестве EE, называется периодической, если существует число T>0T>0 такое, чтоf(x±T)=f(x)при x∈E.f(x\pm T)=f(x)\quad\text{при }x\in E.Выяснить, какие из данных функций являются периодическими, и определить наименьший период их, если:а) f(x)=Acos⁡λx+Bsin⁡λx;\text{а) }f(x)=A\cos\lambda x+B\sin\lambda x;б) f(x)=sin⁡x+12sin⁡2x+13sin⁡3x;\text{б) }f(x)=\sin x+\frac12\sin2x+\frac13\sin3x;в) f(x)=2tg⁡x2−3tg⁡x3;г) f(x)=sin⁡2x;\text{в) }f(x)=2\operatorname{tg}\frac x2-3\operatorname{tg}\frac x3;\qquad \text{г) }f(x)=\sin^2x;д) f(x)=sin⁡x2;е) f(x)=tg⁡x;\text{д) }f(x)=\sin x^2;\qquad \text{е) }f(x)=\sqrt{\operatorname{tg}x};ж) f(x)=tg⁡x;з) f(x)=sin⁡x+sin⁡(x2).\text{ж) }f(x)=\operatorname{tg}\sqrt{x};\qquad \text{з) }f(x)=\sin x+\sin(x\sqrt2).

Задача 234

Доказать, что для функции Дирихлеχ(x)={1,если x рационально,0,если x иррационально,\chi(x)=\begin{cases}1,&\text{если }x\text{ рационально},\\0,&\text{если }x\text{ иррационально},\end{cases}периодом является любое рациональное число.

Задача 235

1. Доказать, что сумма и произведение двух периодических функций, которые определены на общем множестве и периоды которых соизмеримы, есть функции также периодические.

2. Функция f(x)f(x) называется антипериодической, еслиf(x+T)≡−f(x)(T>0).f(x+T)\equiv-f(x)\qquad(T>0).Доказать, что f(x)f(x) — периодическая функция с периодом 2T2T.

Задача 236

Доказать, что если для функции f(x)f(x) (−∞<x<+∞)(-\infty<x<+\infty) выполнено равенство f(x+T)=kf(x)f(x+T)=kf(x), где kk и TT — положительные постоянные, то f(x)=axφ(x)f(x)=a^x\varphi(x), где aa — постоянная, а φ(x)\varphi(x) — периодическая функция с периодом TT.

Задачи 51–86 из 86