Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 185

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Переменная xx пробегает интервал 0<x<10<x<1. Определить, какое множество пробегает переменная yy, если:

Задача 185

y=x2x−1.y=\frac{x}{2x-1}.

Решение

Идея

y=x2x−1,0<x<1.y=\frac{x}{2x-1},\qquad 0<x<1. При x=12x=\frac12 знаменатель обращается в нуль, так что это значение xx нужно исключить.
  1. 1
    Преобразуем дробь. Представим xx в виде x=(2x−1)+12.x=\frac{(2x-1)+1}{2}. x2x−1=(2x−1)+12(2x−1)=12+12(2x−1).\frac{x}{2x-1}
    =
    \frac{(2x-1)+1}{2(2x-1)}
    =
    \frac12+\frac1{2(2x-1)}.
  2. 2
    Рассмотрим два промежутка.

    Пусть 0<x<120<x<\dfrac12.

    Тогда −1<2x−1<0-1<2x-1<0, поэтому 12x−1<−1,\frac1{2x-1}<-1, причем при x→12−0x\to\frac12-0 эта дробь неограниченно убывает. 12(2x−1)∈(−∞,−12),\frac1{2(2x-1)}\in\left(-\infty,-\frac12\right), и потому y=12+12(2x−1)∈(−∞,0).y=\frac12+\frac1{2(2x-1)}\in(-\infty,0).

    Пусть 12<x<1\dfrac12<x<1.

    Тогда 0<2x−1<10<2x-1<1, так что 12x−1>1\frac1{2x-1}>1. 12(2x−1)>12,\frac1{2(2x-1)}>\frac12, и y=12+12(2x−1)>1.y=\frac12+\frac1{2(2x-1)}>1. При x→1−0x\to1-0 значение yy стремится к 11, но 11 не достигается, так как x=1x=1 не входит в данный интервал.

Проверка

y∈(−∞,0)∪(1,+∞).\boxed{
y\in(-\infty,0)\cup(1,+\infty)
}.