Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 185

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Переменная xx пробегает интервал 0<x<10<x<1. Определить, какое множество пробегает переменная yy, если:

Задача 185

y=x2x−1.y=\frac{x}{2x-1}.

Решение

y=x2x−1,0<x<1.y=\frac{x}{2x-1},\qquad 0<x<1. При x=12x=\frac12 знаменатель обращается в нуль, так что это значение xx нужно исключить.

Преобразуем дробь. Представим xx в виде x=(2x−1)+12.x=\frac{(2x-1)+1}{2}. x2x−1=(2x−1)+12(2x−1)=12+12(2x−1).\frac{x}{2x-1}
=
\frac{(2x-1)+1}{2(2x-1)}
=
\frac12+\frac1{2(2x-1)}.
Если 0<x<120<x<\frac12, то −1<2x−1<0-1<2x-1<0, поэтому12x−1<−1,y=12+12(2x−1)<0.\frac1{2x-1}<-1,\qquad y=\frac12+\frac1{2(2x-1)}<0.Если 12<x<1\frac12<x<1, то 0<2x−1<10<2x-1<1, откуда y>1y>1.

Проверим, что все полученные значения действительно достигаются. Решим равенство y=x(2x−1)y=\frac{x}{(2x-1)} относительно xx:(2y−1)x=y,x=y2y−1.(2y-1)x=y,\qquad x=\frac{y}{2y-1}.При y<0y<0 эта дробь лежит между 00 и 12\frac{1}{2}: она положительна и x−12=1(2(2y−1))<0x-\frac{1}{2}=\frac{1}{(2(2y-1))}<0. При y>1y>1 имеем x>12x>\frac{1}{2} и x−1=(1−y)(2y−1)<0x-1=\frac{(1-y)}{(2y-1)}<0. Таким образом, каждое y<0y<0 и каждое y>1y>1 имеет допустимый прообраз.E(y)=(−∞,0)∪(1,+∞).E(y)=(-\infty,0)\cup(1,+\infty).
Демидович № 185 — решение | Высшая математика — Профиматика