Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 156

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Определить области существования следующих функций:

y=\sqrt{\cos x^2}.

Решение

Функция

y=\sqrt{\cos x^2}

определена тогда и только тогда, когда

\cos x^2\geq0.

Положим

t=x^2

. Тогда

t\geq0

. Неравенство

\cos t\geq0

при

t\geq0

выполняется на промежутках

\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\quad\text{и}\quad\left[2\pi k-\frac{\pi}{2},\,2\pi k+\frac{\pi}{2}\right],\qquad k=1,2,\ldots

D(y)=\left[-\sqrt{\frac{\pi}{2}},\sqrt{\frac{\pi}{2}}\right]\cup\bigcup_{k=1}^{\infty}\left(\left[-\sqrt{2\pi k+\frac{\pi}{2}},-\sqrt{2\pi k-\frac{\pi}{2}}\right]\cup\left[\sqrt{2\pi k-\frac{\pi}{2}},\sqrt{2\pi k+\frac{\pi}{2}}\right]\right).