Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 156

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Определить области существования следующих функций:

Задача 156

y=cos⁡x2.y=\sqrt{\cos x^2}.

Решение

Идея

Функция y=cos⁡x2y=\sqrt{\cos x^2} определена тогда и только тогда, когда cos⁡x2≥0.\cos x^2\geq0. Положим t=x2t=x^2. Тогда t≥0t\geq0. Неравенство cos⁡t≥0\cos t\geq0 при t≥0t\geq0 выполняется на промежутках
[0,π2]и[2πk−π2, 2πk+π2],k=1,2,…\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\quad\text{и}\quad
\left[2\pi k-\frac{\pi}{2},\,2\pi k+\frac{\pi}{2}\right],\qquad k=1,2,\ldots D(y)=[−π2,π2]∪⋃k=1∞([−2πk+π2,−2πk−π2]∪[2πk−π2,2πk+π2]).\boxed{
D(y)=
\left[-\sqrt{\frac{\pi}{2}},\sqrt{\frac{\pi}{2}}\right]
\cup
\bigcup_{k=1}^{\infty}
\left(
\left[-\sqrt{2\pi k+\frac{\pi}{2}},-\sqrt{2\pi k-\frac{\pi}{2}}\right]
\cup
\left[\sqrt{2\pi k-\frac{\pi}{2}},\sqrt{2\pi k+\frac{\pi}{2}}\right]
\right)
}.