Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 193

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 193

Найти f(0),f(−x),f(x+1),f(x)+1,f ⁣(1x),1f(x)f(0),f(-x),f(x+1),f(x)+1,f\!\left(\frac1x\right),\frac1{f(x)}, еслиf(x)=1−x1+x.f(x)=\frac{1-x}{1+x}.

Решение

  1. 1
    f(x)=1−x1+x,x≠−1.f(x)=\frac{1-x}{1+x},\qquad x\neq-1.
  2. 2
    Сначала f(0)=1−01+0=1.f(0)=\frac{1-0}{1+0}=1.

    Заменим xx на −x-x: f(−x)=1−(−x)1+(−x)=1+x1−x,x≠1.f(-x)=\frac{1-(-x)}{1+(-x)}=\frac{1+x}{1-x},\qquad x\neq1.

    Заменим xx на x+1x+1: f(x+1)=1−(x+1)1+(x+1).f(x+1)=\frac{1-(x+1)}{1+(x+1)}. Раскрываем скобки: f(x+1)=1−x−11+x+1=−xx+2,x≠−2.f(x+1)=\frac{1-x-1}{1+x+1}=-\frac{x}{x+2},\qquad x\neq-2.
  3. 3
    Найдем f(x)+1f(x)+1: f(x)+1=1−x1+x+1.f(x)+1=\frac{1-x}{1+x}+1. Приводим к общему знаменателю: 1−x1+x+1=1−x1+x+1+x1+x=21+x.\frac{1-x}{1+x}+1
    =
    \frac{1-x}{1+x}+\frac{1+x}{1+x}
    =
    \frac{2}{1+x}.     f(x)+1=21+x,x≠−1.f(x)+1=\frac2{1+x},\qquad x\neq-1.

    Заменим xx на 1x\dfrac1x: f(1x)=1−1x1+1x.f\left(\frac1x\right)=\frac{1-\frac1x}{1+\frac1x}. Умножим числитель и знаменатель на xx: f(1x)=x(1−1x)x(1+1x)=x−1x+1.f\left(\frac1x\right)
    =
    \frac{x\left(1-\frac1x\right)}{x\left(1+\frac1x\right)}
    =
    \frac{x-1}{x+1}.     Здесь x≠0,x≠−1x\neq0,\qquad x\neq-1.

    Наконец, 1f(x)=11−x1+x=1+x1−x.\frac1{f(x)}
    =
    \frac1{\frac{1-x}{1+x}}
    =
    \frac{1+x}{1-x}.     Здесь нужно x≠−1x\neq-1 и f(x)≠0f(x)\neq0, то есть x≠1x\neq1.

Проверка

f(0)=1,f(−x)=1+x1−x,f(x+1)=−xx+2,\boxed{
f(0)=1,\quad
f(-x)=\frac{1+x}{1-x},\quad
f(x+1)=-\frac{x}{x+2},
} f(x)+1=21+x,f(1x)=x−1x+1,1f(x)=1+x1−x.\boxed{
f(x)+1=\frac2{1+x},\quad
f\left(\frac1x\right)=\frac{x-1}{x+1},\quad
\frac1{f(x)}=\frac{1+x}{1-x}.
}
Демидович № 193 — решение | Высшая математика — Профиматика