Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 177

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Пусть

y=\pi(x)\qquad(x\ge0)

обозначает число простых чисел, не превышающих числа

x

.
Построить график этой функции для значений аргумента

0\le x\le20

Построение

Идея

Простые числа, не превышающие

20

, равны

2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19

Функция

\pi(x)

увеличивается на единицу именно тогда, когда

x

достигает очередного простого числа. Слова «не превышающих

x

» означают,
что само простое число уже учитывается. Например,

\pi(4{,}9)=2,\qquad\pi(5)=3

Получаем кусочное задание функции:

\boxed{\pi(x)=\begin{cases}0,&0\le x<2,\\1,&2\le x<3,\\2,&3\le x<5,\\3,&5\le x<7,\\4,&7\le x<11,\\5,&11\le x<13,\\6,&13\le x<17,\\7,&17\le x<19,\\8,&19\le x\le20\end{cases}}

$график к задаче Демидовича № 177$

Проверка

Таким образом,

\pi(x)

— неубывающая ступенчатая функция; на каждом
простом числе её значение скачком увеличивается на единицу.