Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 158

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Определить области существования следующих функций:

Задача 158

y=xsin⁡πx.y=\frac{\sqrt{x}}{\sin\pi x}.

Решение

Идея

Для функции y=xsin⁡πxy=\frac{\sqrt{x}}{\sin\pi x} нужны два условия: x≥0,sin⁡πx≠0.x\geq0,\qquad \sin\pi x\neq0. Равенство sin⁡πx=0\sin\pi x=0 выполняется при x∈Zx\in\mathbb Z. Тогда из неотрицательных значений xx нужно исключить все целые числа.
D(y)=[0,+∞)∖{0,1,2,…}=⋃k=0∞(k,k+1).\boxed{D(y)=[0,+\infty)\setminus\{0,1,2,\ldots\}
=\bigcup_{k=0}^{\infty}(k,k+1)}.