Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 198

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 198

Найти целую рациональную функцию второй степени:f(x)=ax2+bx+c,f(x)=ax^2+bx+c,если f(−2)=0f(-2)=0, f(0)=1f(0)=1, f(1)=5f(1)=5.

Чему равны f(−1)f(-1) и f(0,5)f(0{,}5) (квадратичная интерполяция)?

Решение

  1. 1
    Пусть f(x)=ax2+bx+c.f(x)=ax^2+bx+c.
  2. 2
    Из условия f(0)=1f(0)=1 находим c=1c=1.
  3. 3
    Используем f(1)=5f(1)=5: a+b+c=5.a+b+c=5. Поскольку c=1c=1, то a+b=4.a+b=4.
  4. 4
    Используем последнее условие: f(−2)=0f(-2)=0. Подставляем x=−2x=-2: 4a−2b+c=0.4a-2b+c=0. Так как c=1c=1, получаем 4a−2b+1=0,4a-2b+1=0, то есть 4a−2b=−1.4a-2b=-1.

    Из a+b=4a+b=4 находим b=4−ab=4-a. Подставляем это во второе уравнение:
    4a−2(4−a)=−14a-2(4-a)=-1. Раскрывая скобки, находим
    a=76a=\frac76, поэтому
    b=4−76=246−76=176b=4-\frac76=\frac{24}{6}-\frac76=\frac{17}{6}.f(x)=76x2+176x+1.\boxed{f(x)=\frac76x^2+\frac{17}{6}x+1}.Для x=0,5=12x=0{,}5=\frac12:f(12)=76⋅14+176⋅12+1=724+1712+1=724+3424+2424=6524.f\left(\frac12\right)
    =
    \frac76\cdot\frac14+\frac{17}{6}\cdot\frac12+1
    =
    \frac7{24}+\frac{17}{12}+1
    =
    \frac7{24}+\frac{34}{24}+\frac{24}{24}
    =
    \frac{65}{24}.

Проверка

f(x)=76x2+176x+1,f(−1)=−23,f(0,5)=6524.\boxed{
f(x)=\frac76x^2+\frac{17}{6}x+1,
\qquad
f(-1)=-\frac23,
\qquad
f(0{,}5)=\frac{65}{24}
}.
Демидович № 198 — решение