Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 198

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти целую рациональную функцию второй степени:

f(x)=ax^2+bx+c,

если

f(-2)=0

f(0)=1

f(1)=5

.

Чему равны

f(-1)

f(0{,}5)

(квадратичная интерполяция)?

Решение

Пусть

f(x)=ax^2+bx+c.

Из условия

f(0)=1

находим

c=1

Используем

f(1)=5

a+b+c=5.

Поскольку

c=1

, то

a+b=4.

Используем последнее условие:

f(-2)=0

. Подставляем

x=-2

4a-2b+c=0.

Так как

c=1

, получаем

4a-2b+1=0,

то есть

4a-2b=-1.

Из

a+b=4

находим

b=4-a

. Подставляем это во второе уравнение:

4a-2(4-a)=-1

. Раскрывая скобки, находим

a=\frac76

, поэтому

b=4-\frac76=\frac{24}{6}-\frac76=\frac{17}{6}

f(x)=\frac76x^2+\frac{17}{6}x+1.

Для

x=-1

получаем

f(-1)=\frac76-\frac{17}{6}+1=-\frac23

. Для

x=0{,}5=\frac12

f\left(\frac12\right)=\frac76\cdot\frac14+\frac{17}{6}\cdot\frac12+1=\frac7{24}+\frac{17}{12}+1=\frac7{24}+\frac{34}{24}+\frac{24}{24}=\frac{65}{24}.

f(x)=\frac76x^2+\frac{17}{6}x+1,\qquadf(-1)=-\frac23,\qquadf(0{,}5)=\frac{65}{24}.