Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 180

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

На какое множество EyE_y отображает множество ExE_x функция y=f(x)y=f(x), если:

Задача 180

y=1πarcctg⁡x,Ex={−∞<x<∞}.y=\frac1\pi\operatorname{arcctg}x,\qquad E_x=\{-\infty<x<\infty\}.

Решение

Идея

При −∞<x<+∞-\infty<x<+\infty функция arcctg⁡x\operatorname{arcctg}x принимает значения 0<arcctg⁡x<π.0<\operatorname{arcctg}x<\pi. Разделим все части неравенства на π>0\pi>0: 0<1πarcctg⁡x<1.0<\frac1\pi\operatorname{arcctg}x<1. Поскольку y=1πarcctg⁡x,y=\frac1\pi\operatorname{arcctg}x, находим 0<y<1.0<y<1.
Значения 00 и 11 не достигаются, поскольку arcctg⁡x\operatorname{arcctg}x при конечных xx не принимает значений 00 и π\pi.

Проверка

Ey=(0,1).\boxed{E_y=(0,1)}.