Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции
Демидович — задача 174
Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.
Задача 174
На сегменте оси равномерно распределена масса,
равная г, а в точках этой оси и находятся
сосредоточенные массы по г в каждой. Составить аналитическое
выражение функции , численно равной массе,
находящейся в интервале , и построить график этой функции.
равная г, а в точках этой оси и находятся
сосредоточенные массы по г в каждой. Составить аналитическое
выражение функции , численно равной массе,
находящейся в интервале , и построить график этой функции.
Построение
Идея
На отрезке длины равномерно распределена масса г. Поэтомулинейная плотность равна
Разберём положение правой границы интервала .
• При внутри интервала массы нет.
• При в интервал попадает часть распределённой массы
на отрезке длины , поэтому .
• При вся распределённая масса уже учтена:
.
• При дополнительно учитывается масса г в точке :
.
• При учитываются обе точечные массы: .
Обратите внимание: интервал не содержит свою правую
границу. Поэтому при масса, сосредоточенная в точке , ещё не
учитывается; аналогично при ещё не учитывается масса в точке .
• При внутри интервала массы нет.
• При в интервал попадает часть распределённой массы
на отрезке длины , поэтому .
• При вся распределённая масса уже учтена:
.
• При дополнительно учитывается масса г в точке :
.
• При учитываются обе точечные массы: .
Обратите внимание: интервал не содержит свою правую
границу. Поэтому при масса, сосредоточенная в точке , ещё не
учитывается; аналогично при ещё не учитывается масса в точке .