Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 162

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Определить области существования следующих функций:

Задача 162

y=(x+∣x∣)xsin⁡2πx.y=(x+|x|)\sqrt{x\sin^2\pi x}.

Решение

Функция y=(x+∣x∣)xsin⁡2πxy=(x+|x|)\sqrt{x\sin^2\pi x} определена при условии xsin⁡2πx≥0.x\sin^2\pi x\geq0. Даже если множитель x+∣x∣x+|x| равен нулю, квадратный корень должен быть определён: умножение на нуль не позволяет извлекать корень из отрицательного числа.

Если x≥0x\geq0, то это условие выполняется автоматически, так как sin⁡2πx≥0\sin^2\pi x\geq0.
Если x<0x<0, то произведение xsin⁡2πxx\sin^2\pi x может быть неотрицательным только при sin⁡2πx=0,\sin^2\pi x=0, то есть при x∈Zx\in\mathbb Z. С учетом условия x<0x<0 находим x=−1,−2,−3,…x=-1,-2,-3,\ldotsD(y)=[0,+∞)∪{−1,−2,−3,…}.D(y)=[0,+\infty)\cup\{-1,-2,-3,\ldots\}.
Демидович № 162 — решение | Высшая математика — Профиматика