Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 200

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти функцию вида

f(x)=a+bc^x,

если

f(0)=15

f(2)=30

f(4)=90

Решение

Идея

Пусть

f(x)=a+bc^x.

Для показательной функции считаем

c>0

1
Из условия $f(0)=15$ находим $a+bc^0=15.$ Поскольку $c^0=1$ , то $a+b=15.$
2
Из условия $f(2)=30$ получаем $a+bc^2=30.$ Из условия $f(4)=90$ имеем $a+bc^4=90.$

Вычитаем первое уравнение из второго: $bc^2-b=15,\quad b(c^2-1)=15.$

Вычитаем второе уравнение из третьего: $bc^4-bc^2=60,\quad bc^2(c^2-1)=60.$

Разделим последнее равенство на $b(c^2-1)=15$ : $c^2=\frac{60}{15}=4.$ Так как $c>0$ , находим $c=2$ .
3
Теперь $b(c^2-1)=15$ дает $b(4-1)=15,\quad 3b=15,\quad b=5.$ Наконец, $a+b=15$ , так что $a=10$ .

Проверка

\boxed{f(x)=10+5\cdot2^x}.