Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 200

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 200

Найти функцию видаf(x)=a+bcx,f(x)=a+bc^x,если f(0)=15f(0)=15, f(2)=30f(2)=30, f(4)=90f(4)=90.

Решение

Пусть f(x)=a+bcx.f(x)=a+bc^x. Для показательной функции считаем c>0c>0.

Из условия f(0)=15f(0)=15 находим a+bc0=15.a+bc^0=15. Поскольку c0=1c^0=1, то a+b=15.a+b=15.
Из условия f(2)=30f(2)=30 получаем a+bc2=30.a+bc^2=30. Из условия f(4)=90f(4)=90 имеем a+bc4=90.a+bc^4=90.

Вычитаем первое уравнение из второго: bc2−b=15,b(c2−1)=15.bc^2-b=15,\quad b(c^2-1)=15.

Вычитаем второе уравнение из третьего: bc4−bc2=60,bc2(c2−1)=60.bc^4-bc^2=60,\quad bc^2(c^2-1)=60.

Разделим последнее равенство на b(c2−1)=15b(c^2-1)=15: c2=6015=4.c^2=\frac{60}{15}=4. Так как c>0c>0, находим c=2c=2.
Теперь b(c2−1)=15b(c^2-1)=15 дает b(4−1)=15,3b=15,b=5.b(4-1)=15,\quad 3b=15,\quad b=5. Наконец, a+b=15a+b=15, так что a=10a=10.f(x)=10+5⋅2x.f(x)=10+5\cdot2^x
.
Демидович № 200 — решение | Высшая математика — Профиматика