Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 173

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 173

В равнобедренной трапеции ABCDABCD, основания которой AD=aAD=a и BC=bBC=b
(a>b)(a>b), а высота HB=hHB=h, проведена прямая MN∥HBMN\parallel HB и отстоящая
от вершины AA на расстоянии AM=xAM=x. Выразить площадь SS фигуры
ABNMAABNMA как функцию переменной xx. Построить график функции S=S(x)S=S(x).

Построение

Идея

Будем понимать S(x)S(x) как площадь части трапеции, расположенной между
вершиной AA и вертикальной прямой MNMN. При движении точки MM от AA
к DD точка NN последовательно лежит на сторонах ABAB, BCBC и CDCD.
Поэтому вид отсекаемой фигуры меняется дважды: когда прямая MNMN
проходит через вершину BB и когда она проходит через вершину CC.
Из-за этого площадь S(x)S(x) задаётся тремя формулами.
  1. 1
    рисунок к задаче Демидовича № 173

    В равнобедренной трапеции выступающие части нижнего основания равны:AH=GD=a−b2AH=GD=\frac{a-b}{2}Для краткости положимq=a−b2q=\frac{a-b}{2}Формула площади меняется в те моменты, когда прямая MNMN проходит через
    вершины BB и CC, то есть при x=qx=q и x=q+b=a+b2x=q+b=\dfrac{a+b}{2}.

    Случай 0≤x≤q0\le x\le q.
    Точка NN лежит на стороне ABAB, поэтому слева получается треугольник
    AMNAMN. По подобию треугольников его высота yy удовлетворяет равенствуyh=xq\frac{y}{h}=\frac{x}{q}Следовательно,S(x)=12xy=12x⋅hxq=hx2a−bS(x)=\frac12xy
    =\frac12x\cdot\frac{hx}{q}
    =\frac{hx^2}{a-b}    Случай q≤x≤q+bq\le x\le q+b.
    Точка NN лежит на основании BCBC. К площади левого треугольника
    ABHABH, равной qh2\dfrac{qh}{2}, добавляется прямоугольник HBNMHBNM высоты
    hh и ширины x−qx-q:S(x)=S(x)\mathrel{=}qh2+h(x−q)=\frac{qh}{2}+h(x-q)\mathrel{=}h(x−q2)=h\left(x-\frac q2\right)\mathrel{=}h(x−a−b4)h\left(x-\frac{a-b}{4}\right)Случай q+b≤x≤aq+b\le x\le a.
    Точка NN лежит на стороне CDCD. Удобнее вычесть из площади всей
    трапеции маленький треугольник MNDMND справа. Его основание равно a−xa-x.
    Из подобия следует, что его высота равна h(a−x)q\dfrac{h(a-x)}{q}. ПоэтомуS(x)=S(x)\mathrel{=}(a+b)h2−12(a−x)⋅h(a−x)q=\frac{(a+b)h}{2}
    -\frac12(a-x)\cdot\frac{h(a-x)}q\mathrel{=}    (a+b)h2−h(a−x)2a−b\frac{(a+b)h}{2}-\frac{h(a-x)^2}{a-b}
  2. 2
    Итак,S(x)={hx2a−b,0≤x≤a−b2,h(x−a−b4),a−b2≤x≤a+b2,(a+b)h2−h(a−x)2a−b,a+b2≤x≤a\boxed{
    S(x)=
    \begin{cases}
    \dfrac{hx^2}{a-b},
    &0\le x\le\dfrac{a-b}{2},\\[3mm]
    h\left(x-\dfrac{a-b}{4}\right),
    &\dfrac{a-b}{2}\le x\le\dfrac{a+b}{2},\\[3mm]
    \dfrac{(a+b)h}{2}-\dfrac{h(a-x)^2}{a-b},
    &\dfrac{a+b}{2}\le x\le a
    \end{cases}}    На границах соседние формулы дают одинаковые значения:x0a−b2a+b2aS(x)0h(a−b)4h(a+3b)4h(a+b)2\begin{array}{c|cccc}
    x&0&\dfrac{a-b}{2}&\dfrac{a+b}{2}&a\\ \hline
    S(x)&0&\dfrac{h(a-b)}4&\dfrac{h(a+3b)}4&\dfrac{h(a+b)}2
    \end{array}    Поэтому график не имеет разрывов: сначала это выпуклая вверх дуга
    параболы, затем отрезок прямой, а в конце — выпуклая вниз дуга параболы.
  3. 3
    Для изображения формы графика выберем условный масштаб a:b=2:1a:b=2:1.
    Символические подписи характерных точек при этом остаются точными для
    любых a>b>0a>b>0.график к задаче Демидовича № 173
Демидович № 173 — решение | Высшая математика — Профиматика