Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1795

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод интегрирования по частям, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int xe^{-x}\,dx

Ответ:

-(x+1)e^{-x}+C, \qquad x\in\mathbb R

Решение

При дифференцировании множитель

x

превращается в

1

, а

e^{-x}

интегрируется без труда. Поэтому применим интегрирование по частям и положим

u=x, \qquad dv=e^{-x}\,dx, \qquad du=dx, \qquad v=-e^{-x}

Тогда

\begin{aligned} \int xe^{-x}\,dx &=-xe^{-x}+\int e^{-x}\,dx =-(x+1)e^{-x}+C\end{aligned}