Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1799

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод интегрирования по частям, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int x^2\sin2x\,dx

Ответ:

-\dfrac12x^2\cos 2x +\dfrac12x\sin 2x+\dfrac14\cos 2x+C, \qquad x\in\mathbb R

Решение

Обозначим исходный интеграл через

I

. Дважды интегрируем по частям, каждый раз дифференцируя многочлен. Сначала положим

u=x^2, \qquad dv=\sin2x\,dx, \qquad du=2x\,dx, \qquad v=-\dfrac12\cos2x

Тогда

I=-\dfrac12x^2\cos 2x+\int x\cos 2x\,dx

Для интеграла

J=\int x\cos 2x\,dx

ещё раз применим интегрирование по частям. Положим

u=x, \qquad dv=\cos 2x\,dx, \qquad du=dx, \qquad v=\dfrac12\sin 2x

Тогда

\begin{aligned} J &=\dfrac12x\sin 2x-\dfrac12\int\sin 2x\,dx =\dfrac12x\sin 2x+\dfrac14\cos 2x\end{aligned}

Следовательно,

\begin{aligned} I &=-\dfrac12x^2\cos 2x +\dfrac12x\sin 2x+\dfrac14\cos 2x+C\end{aligned}