Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1812

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

Задача 1812

∫(arcsin⁡x)2 dx\displaystyle\int(\arcsin x)^2\,dx.
Ответ:x(arcsin⁡x)2+2arcsin⁡x1−x2−2x+C,∣x∣<1x(\arcsin x)^2
+2\arcsin x\sqrt{1-x^2}-2x+C,
\qquad
|x|<1Формула непрерывно продолжается на концы отрезка [−1;1][-1;1].

Решение

Подынтегральная функция принимает действительные значения при ∣x∣⩽1|x|\leqslant1. Дифференцирование arcsin⁡x\arcsin x уменьшит степень обратной функции, поэтому на ∣x∣<1|x|<1 применим интегрирование по частям:u=(arcsin⁡x)2,dv=dxu=(\arcsin x)^2,
\qquad
dv=dxТогдаdu=2arcsin⁡x1−x2 dx,v=xdu=\dfrac{2\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx,
\qquad
v=xПоэтому∫(arcsin⁡x)2 dx=x(arcsin⁡x)2−2∫xarcsin⁡x1−x2 dx\int(\arcsin x)^2\,dx
=x(\arcsin x)^2
-2\int\dfrac{x\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}\,dxДля оставшегося интеграла ещё раз используем интегрирование по частям. Посколькуx dx1−x2=−d1−x2,\dfrac{x\,dx}{\sqrt{1-x^2}}=-d\sqrt{1-x^2},положимp=arcsin⁡x,dq=x dx1−x2p=\arcsin x,
\qquad
dq=\dfrac{x\,dx}{\sqrt{1-x^2}}Тогдаdp=dx1−x2,q=−1−x2dp=\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}},
\qquad
q=-\sqrt{1-x^2}Следовательно,∫xarcsin⁡x1−x2 dx=−arcsin⁡x1−x2+∫dx==−arcsin⁡x1−x2+x\begin{aligned}
\int\dfrac{x\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx
&=-\arcsin x\sqrt{1-x^2}
+\int dx=\\
&=-\arcsin x\sqrt{1-x^2}+x
\end{aligned}Подставляя этот результат, получаем∫(arcsin⁡x)2 dx=x(arcsin⁡x)2+2arcsin⁡x1−x2−2x+C\int(\arcsin x)^2\,dx
=x(\arcsin x)^2
+2\arcsin x\sqrt{1-x^2}-2x+CФормула непрерывно продолжается в точки x=−1x=-1 и x=1x=1.
Демидович № 1812 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика