Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1796

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод интегрирования по частям, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int x^2e^{-2x}\,dx

Ответ:

-\dfrac14e^{-2x}(2x^2+2x+1)+C, \qquad x\in\mathbb R

Решение

Обозначим исходный интеграл через

I

. При интегрировании по частям берём за

u

многочлен: его степень уменьшится после дифференцирования. Сначала положим

u=x^2, \qquad dv=e^{-2x}\,dx, \qquad du=2x\,dx, \qquad v=-\dfrac12e^{-2x}

Тогда

I=-\dfrac12x^2e^{-2x}+\int xe^{-2x}\,dx

Для интеграла

J=\int xe^{-2x}\,dx

ещё раз применим интегрирование по частям. Положим

u=x, \qquad dv=e^{-2x}\,dx, \qquad du=dx, \qquad v=-\dfrac12e^{-2x}

Тогда

\begin{aligned} J &=-\dfrac12xe^{-2x} +\dfrac12\int e^{-2x}\,dx =-\dfrac12xe^{-2x}-\dfrac14e^{-2x}\end{aligned}

Следовательно,

\begin{aligned} I &=-\dfrac12x^2e^{-2x} -\dfrac12xe^{-2x}-\dfrac14e^{-2x}+C=\\ &=-\dfrac14e^{-2x}(2x^2+2x+1)+C\end{aligned}