Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1798

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод интегрирования по частям, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int x\cos x\,dx

Ответ:

x\sin x+\cos x+C, \qquad x\in\mathbb R

Решение

При дифференцировании

x

исчезает из оставшегося интеграла. Применим интегрирование по частям и положим

u=x, \qquad dv=\cos x\,dx, \qquad du=dx, \qquad v=\sin x

Тогда

\begin{aligned} \int x\cos x\,dx &=x\sin x-\int\sin x\,dx =x\sin x+\cos x+C\end{aligned}