Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1788

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя гиперболические подстановки x=ash⁡tx=a\sh t, x=ach⁡tx=a\ch t и т. п., найти следующие интегралы (параметры положительны):

Задача 1788

∫x−ax+a dx\displaystyle\int\sqrt{\frac{x-a}{x+a}}\,dx.
Ответ:{x2−a2−aln⁡(x+x2−a2)+C+,x>a,−x2−a2−aln⁡(−x+x2−a2)+C−,x<−a,a>0\begin{cases}
\sqrt{x^2-a^2}
-a\ln\left(x+\sqrt{x^2-a^2}\right)+C_{+},
& x>a,\\[6pt]
-\sqrt{x^2-a^2}
-a\ln\left(-x+\sqrt{x^2-a^2}\right)+C_{-},
& x<-a,
\end{cases}
\qquad a>0Полная область определения есть (−∞,−a)∪[a,+∞)(-\infty,-a)\cup[a,+\infty). Правая формула является первообразной на (a,+∞)(a,+\infty) и непрерывно продолжается в допустимую точку x=ax=a.

Решение

Пусть a>0a>0. Полная область определения подынтегральной функции имеет вид(−∞,−a)∪[a,+∞)(-\infty,-a)\cup[a,+\infty)Первообразную вычисляем на внутренних промежутках (−∞,−a)(-\infty,-a) и (a,+∞)(a,+\infty).

Сначала рассмотрим x>ax>a. Чтобы превратить x2−a2x^2-a^2 в квадрат, положимx=ach⁡t,t>0,dx=ash⁡t dtx=a\operatorname{ch}t,
\qquad
t>0,
\qquad
dx=a\operatorname{sh}t\,dtДля корня используем формулы половинного аргумента:ch⁡t−1=2sh⁡2t2,ch⁡t+1=2ch⁡2t2\operatorname{ch}t-1=2\operatorname{sh}^2\dfrac{t}{2},
\qquad
\operatorname{ch}t+1=2\operatorname{ch}^2\dfrac{t}{2}При t>0t>0 обе гиперболические функции половинного аргумента положительны, поэтомуx−ax+a=ch⁡t−1ch⁡t+1=th⁡t2\sqrt{\dfrac{x-a}{x+a}}
=\sqrt{\dfrac{\operatorname{ch}t-1}{\operatorname{ch}t+1}}
=\operatorname{th}\dfrac{t}{2}Так какsh⁡tth⁡t2=ch⁡t−1\operatorname{sh}t\operatorname{th}\dfrac{t}{2}
=\operatorname{ch}t-1подынтегральное выражение сокращается. При возвращении к xx учтём ash⁡t=x2−a2a\operatorname{sh}t=\sqrt{x^2-a^2} иet=ch⁡t+sh⁡t=x+x2−a2ae^t=\operatorname{ch}t+\operatorname{sh}t
=\dfrac{x+\sqrt{x^2-a^2}}{a}Тогда∫x−ax+a dx=a∫(ch⁡t−1) dt=a(sh⁡t−t)+C==x2−a2−aln⁡(x+x2−a2)+C\begin{aligned}
\int\sqrt{\dfrac{x-a}{x+a}}\,dx
&=a\int(\operatorname{ch}t-1)\,dt
=a(\operatorname{sh}t-t)+C=\\
&=\sqrt{x^2-a^2}
-a\ln\left(x+\sqrt{x^2-a^2}\right)+C
\end{aligned}Здесь x+x2−a2>0x+\sqrt{x^2-a^2}>0. Постоянное слагаемое, содержащее ln⁡a\ln a, включено в CC.

Если x<−ax<-a, берём другую ветвь той же подстановки:x=−ach⁡t,t>0,dx=−ash⁡t dtx=-a\operatorname{ch}t,
\qquad
t>0,
\qquad
dx=-a\operatorname{sh}t\,dtИз тех же формул половинного аргумента получаемx−ax+a=ch⁡t+1ch⁡t−1=cth⁡t2,sh⁡tcth⁡t2=ch⁡t+1\begin{aligned}
\sqrt{\dfrac{x-a}{x+a}}
&=\sqrt{\dfrac{\operatorname{ch}t+1}{\operatorname{ch}t-1}}
=\operatorname{cth}\dfrac{t}{2},\\
\operatorname{sh}t\operatorname{cth}\dfrac{t}{2}
&=\operatorname{ch}t+1
\end{aligned}Для возврата к xx заметим:−x=ach⁡t,x2−a2=ash⁡t-x=a\operatorname{ch}t,
\qquad
\sqrt{x^2-a^2}=a\operatorname{sh}tПоэтомуet=ch⁡t+sh⁡t=−x+x2−a2a,t=ln⁡−x+x2−a2ae^t=\operatorname{ch}t+\operatorname{sh}t
=\dfrac{-x+\sqrt{x^2-a^2}}{a},
\qquad
t=\ln\dfrac{-x+\sqrt{x^2-a^2}}{a}Отсюда∫x−ax+a dx=−a∫(ch⁡t+1) dt==−x2−a2−aln⁡(−x+x2−a2)+C\begin{aligned}
\int\sqrt{\dfrac{x-a}{x+a}}\,dx
&=-a\int(\operatorname{ch}t+1)\,dt=\\
&=-\sqrt{x^2-a^2}
-a\ln\left(-x+\sqrt{x^2-a^2}\right)+C
\end{aligned}При x<−ax<-a выполняется −x+x2−a2>0-x+\sqrt{x^2-a^2}>0, а постоянное слагаемое aln⁡aa\ln a включено в CC.
Демидович № 1788 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика