Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1813

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

\displaystyle\int x(\arctg x)^2\,dx

Ответ:

\dfrac{x^2+1}{2}(\operatorname{arctg}x)^2 -x\operatorname{arctg}x +\dfrac{1}{2}\ln(1+x^2)+C

Решение

Чтобы понизить степень

\operatorname{arctg}x

, продифференцируем его квадрат. Применим интегрирование по частям:

u=(\operatorname{arctg}x)^2, \qquad dv=x\,dx

Тогда

du=\dfrac{2\operatorname{arctg}x}{1+x^2}\,dx, \qquad v=\dfrac{x^2}{2}

Следовательно,

\begin{aligned} \int x(\operatorname{arctg}x)^2\,dx &=\dfrac{x^2}{2}(\operatorname{arctg}x)^2 -\int\dfrac{x^2\operatorname{arctg}x}{1+x^2}\,dx=\\ &=\dfrac{x^2}{2}(\operatorname{arctg}x)^2 -\int\operatorname{arctg}x\,dx +\int\dfrac{\operatorname{arctg}x}{1+x^2}\,dx\end{aligned}

Здесь использовано

\dfrac{x^2}{1+x^2}=1-\dfrac{1}{1+x^2}

. Первый из оставшихся интегралов найдём по частям:

\begin{aligned} \int\operatorname{arctg}x\,dx &=x\operatorname{arctg}x -\int\dfrac{x\,dx}{1+x^2}=\\ &=x\operatorname{arctg}x -\dfrac{1}{2}\ln(1+x^2)\end{aligned}

Во втором интеграле положим

t=\operatorname{arctg}x

. Тогда

dt=\dfrac{dx}{1+x^2}

\int\dfrac{\operatorname{arctg}x}{1+x^2}\,dx =\int t\,dt =\dfrac{1}{2}(\operatorname{arctg}x)^2

Собирая результаты, получаем

\int x(\operatorname{arctg}x)^2\,dx =\dfrac{x^2+1}{2}(\operatorname{arctg}x)^2 -x\operatorname{arctg}x +\dfrac{1}{2}\ln(1+x^2)+C