Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1801

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод интегрирования по частям, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int x^3\ch3x\,dx

Ответ:

\dfrac{x^3}{3}\operatorname{sh}3x -\dfrac{x^2}{3}\operatorname{ch}3x +\dfrac{2x}{9}\operatorname{sh}3x -\dfrac{2}{27}\operatorname{ch}3x+C

Решение

В первом интегрировании по частям положим

u=x^3, \qquad dv=\operatorname{ch}3x\,dx, \qquad du=3x^2\,dx, \qquad v=\dfrac{1}{3}\operatorname{sh}3x

При следующих применениях формулы снова выбираем за

u

оставшийся многочлен. Его степень последовательно уменьшается:

x^3\longrightarrow x^2\longrightarrow x\longrightarrow1

При втором применении берём

u=x^2

dv=\operatorname{sh}3x\,dx

, откуда

v=\dfrac13\operatorname{ch}3x

\int x^2\operatorname{sh}3x\,dx =\dfrac{x^2}{3}\operatorname{ch}3x -\dfrac{2}{3}\int x\operatorname{ch}3x\,dx

Оставшийся интеграл ещё раз вычислим по частям, взяв

u=x

dv=\operatorname{ch}3x\,dx

. Тогда

\int x\operatorname{ch}3x\,dx =\dfrac{x}{3}\operatorname{sh}3x -\dfrac19\operatorname{ch}3x

Подставляя оба результата, получаем

\begin{aligned} \int x^3\operatorname{ch}3x\,dx &=\dfrac{x^3}{3}\operatorname{sh}3x -\int x^2\operatorname{sh}3x\,dx=\\ &=\dfrac{x^3}{3}\operatorname{sh}3x -\dfrac{x^2}{3}\operatorname{ch}3x +\dfrac{2}{3}\int x\operatorname{ch}3x\,dx=\\ &=\dfrac{x^3}{3}\operatorname{sh}3x -\dfrac{x^2}{3}\operatorname{ch}3x +\dfrac{2x}{9}\operatorname{sh}3x -\dfrac{2}{27}\operatorname{ch}3x+C\end{aligned}