Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1820

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

\displaystyle\int x^2\sqrt{a^2+x^2}\,dx

Ответ:При

a\ne0

\dfrac{x\sqrt{a^2+x^2}(2x^2+a^2)}{8} -\dfrac{a^4}{8}\ln\left(x+\sqrt{a^2+x^2}\right)+C

При

a=0

\dfrac{x^3|x|}{4}+C

Решение

Считаем параметр

a

действительным. Сначала пусть

a\ne0

, и обозначим

\alpha=|a|>0

. Подстановка

x=\alpha\operatorname{sh}t

превращает корень в

\alpha\operatorname{ch}t

. Положим

x=\alpha\operatorname{sh}t, \qquad -\infty<t<+\infty

Тогда

dx=\alpha\operatorname{ch}t\,dt, \qquad \sqrt{a^2+x^2}=\alpha\operatorname{ch}t

Следовательно,

\begin{aligned} \int x^2\sqrt{a^2+x^2}\,dx &=\dfrac{\alpha^4}{4}\int\operatorname{sh}^2(2t)\,dt=\\ &=\dfrac{\alpha^4}{8}\int(\operatorname{ch}4t-1)\,dt=\\ &=\dfrac{\alpha^4}{32}\operatorname{sh}4t -\dfrac{\alpha^4}{8}t+C\end{aligned}

Для возврата к переменной

x

используем равенства

\begin{aligned} \operatorname{sh}4t &=2\operatorname{sh}2t\operatorname{ch}2t=\\ &=4\operatorname{sh}t\operatorname{ch}t \bigl(\operatorname{ch}^2t+\operatorname{sh}^2t\bigr)=\\ &=\dfrac{4x\sqrt{a^2+x^2}(a^2+2x^2)}{a^4}\end{aligned}

e^t=\operatorname{ch}t+\operatorname{sh}t =\dfrac{\sqrt{a^2+x^2}+x}{|a|}

Следовательно,

t=\ln\dfrac{x+\sqrt{a^2+x^2}}{|a|}

Поскольку

x+\sqrt{a^2+x^2}>0

при

a\ne0

, модуль в логарифме не требуется. Постоянное слагаемое

\dfrac{a^4}{8}\ln|a|

включаем в

C

. Получаем

\int x^2\sqrt{a^2+x^2}\,dx =\dfrac{x\sqrt{a^2+x^2}(2x^2+a^2)}{8} -\dfrac{a^4}{8}\ln\left(x+\sqrt{a^2+x^2}\right)+C

Если

a=0

, то подынтегральная функция равна

x^2|x|

. При

x>0

это

x^3

, при

x<0

это

-x^3

, поэтому обе первообразные объединяются в одну формулу:

\int x^2|x|\,dx=\dfrac{x^3|x|}{4}+C