Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1815

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{x\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}{\sqrt{1+x^2}}\,dx

Ответ:

\sqrt{1+x^2}\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)-x+C

Решение

При всех действительных

x

имеем

\sqrt{1+x^2}>|x|

, поэтому выражение

x+\sqrt{1+x^2}

положительно и логарифм определён.

Множитель без логарифма является дифференциалом корня:

d\sqrt{1+x^2}=\dfrac{x\,dx}{\sqrt{1+x^2}}

Поэтому применим интегрирование по частям:

u=\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right), \qquad dv=\dfrac{x\,dx}{\sqrt{1+x^2}}

Тогда

du=\dfrac{dx}{\sqrt{1+x^2}}, \qquad v=\sqrt{1+x^2}

Следовательно,

\begin{aligned} \int\dfrac{x\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)} {\sqrt{1+x^2}}\,dx &=\sqrt{1+x^2}\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right) -\int dx=\\ &=\sqrt{1+x^2}\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)-x+C\end{aligned}