Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1780

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя тригонометрические подстановки x=asin⁡tx=a\sin t, x=atg⁡tx=a\tg t, x=asin⁡2tx=a\sin^2t и т. п., найти следующие интегралы (параметры положительны):

Задача 1780

∫1−x2 dx\displaystyle\int\sqrt{1-x^2}\,dx.
Ответ:12(x1−x2+arcsin⁡x)+C,∣x∣<1\dfrac{1}{2}\left(x\sqrt{1-x^2}+\arcsin x\right)+C,
\qquad
|x|<1Формула непрерывно продолжается на концы отрезка [−1;1][-1;1].

Решение

На промежутке ∣x∣<1|x|<1 сделаем подстановкуx=sin⁡t,−π2<t<π2x=\sin t,
\qquad
-\dfrac{\pi}{2}<t<\dfrac{\pi}{2}Тогда cos⁡t>0\cos t>0 иdx=cos⁡t dt,1−x2=cos⁡tdx=\cos t\,dt,
\qquad
\sqrt{1-x^2}=\cos tСледовательно,∫1−x2 dx=∫cos⁡2t dt=12∫(1+cos⁡2t) dt==t2+sin⁡2t4+C\begin{aligned}
\int\sqrt{1-x^2}\,dx
&=\int\cos^2t\,dt
=\dfrac{1}{2}\int(1+\cos2t)\,dt=\\
&=\dfrac{t}{2}+\dfrac{\sin2t}{4}+C
\end{aligned}Для возврата к xx используемt=arcsin⁡x,sin⁡2t=2sin⁡tcos⁡t=2x1−x2t=\arcsin x,
\qquad
\sin2t=2\sin t\cos t=2x\sqrt{1-x^2}Тогда∫1−x2 dx=12arcsin⁡x+x21−x2+C\int\sqrt{1-x^2}\,dx
=\dfrac{1}{2}\arcsin x
+\dfrac{x}{2}\sqrt{1-x^2}+CПолученная первообразная непрерывно продолжается в точки x=−1x=-1 и x=1x=1.
Демидович № 1780 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика