Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1807

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод интегрирования по частям, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)dx

Ответ:

x\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right) -\sqrt{1+x^2}+C

Решение

Поскольку

\sqrt{1+x^2}>|x|

, выражение

x+\sqrt{1+x^2}

положительно при всех

x\in\mathbb R

. Кроме того,

\begin{aligned} \left(\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\right)' &=\dfrac{1+\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}} {x+\sqrt{1+x^2}}=\\ &=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}\end{aligned}

Дифференцирование логарифма убирает его из оставшегося интеграла, поэтому интегрируем по частям, полагая

u=\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right), \qquad dv=dx, \qquad du=\dfrac{dx}{\sqrt{1+x^2}}, \qquad v=x

В последнем интеграле используем дифференциал корня:

d\sqrt{1+x^2}=\dfrac{x\,dx}{\sqrt{1+x^2}}

Тогда

\begin{aligned} \int\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)dx &=x\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right) -\int\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx=\\ &=x\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right) -\sqrt{1+x^2}+C\end{aligned}