Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1778

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя тригонометрические подстановки

x=a\sin t

x=a\tg t

x=a\sin^2t

и т. п., найти следующие интегралы (параметры положительны):

\displaystyle\int\frac{dx}{(1-x^2)^{3/2}}

Ответ:

\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}+C, \qquad |x|<1

Решение

Подынтегральная функция определена при

|x|<1

. Подстановка

x=\sin t

превращает

1-x^2

\cos^2t

. Выберем промежуток, на котором

\cos t>0

x=\sin t, \qquad -\dfrac{\pi}{2}<t<\dfrac{\pi}{2}

На выбранном промежутке

\cos t>0

, поэтому

dx=\cos t\,dt, \qquad \sqrt{1-x^2}=\cos t

Следовательно,

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{(1-x^2)^{\frac{3}{2}}} &=\int\dfrac{\cos t\,dt}{\cos^3t} =\int\dfrac{dt}{\cos^2t}=\\ &=\tg t+C =\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}+C\end{aligned}