Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1814

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

Задача 1814

∫x2ln⁡1−x1+x dx\displaystyle\int x^2\ln\frac{1-x}{1+x}\,dx.
Ответ:x33ln⁡1−x1+x−x23−13ln⁡(1−x2)+C,−1<x<1\dfrac{x^3}{3}\ln\dfrac{1-x}{1+x}
-\dfrac{x^2}{3}
-\dfrac{1}{3}\ln(1-x^2)+C,
\qquad
-1<x<1

Решение

Логарифм определён, когда1−x1+x>0\dfrac{1-x}{1+x}>0Отсюда −1<x<1-1<x<1. Дифференцирование логарифма оставит рациональную дробь, поэтому на этом промежутке применим интегрирование по частям:u=ln⁡1−x1+x,dv=x2 dxu=\ln\dfrac{1-x}{1+x},
\qquad
dv=x^2\,dxИмеемdu=−2 dx1−x2,v=x33du=-\dfrac{2\,dx}{1-x^2},
\qquad
v=\dfrac{x^3}{3}Поэтому∫x2ln⁡1−x1+x dx=x33ln⁡1−x1+x+23∫x31−x2 dx\begin{aligned}
\int x^2\ln\dfrac{1-x}{1+x}\,dx
&=\dfrac{x^3}{3}\ln\dfrac{1-x}{1+x}
+\dfrac{2}{3}\int\dfrac{x^3}{1-x^2}\,dx
\end{aligned}Равенство ниже следует из x3=−x(1−x2)+xx^3=-x(1-x^2)+x:x31−x2=−x+x1−x2\dfrac{x^3}{1-x^2}=-x+\dfrac{x}{1-x^2}получаем∫x31−x2 dx=−x22−12ln⁡(1−x2)+C\begin{aligned}
\int\dfrac{x^3}{1-x^2}\,dx
&=-\dfrac{x^2}{2}
-\dfrac{1}{2}\ln(1-x^2)+C
\end{aligned}Следовательно,∫x2ln⁡1−x1+x dx=x33ln⁡1−x1+x−x23−13ln⁡(1−x2)+C\begin{aligned}
\int x^2\ln\dfrac{1-x}{1+x}\,dx
&=\dfrac{x^3}{3}\ln\dfrac{1-x}{1+x}
-\dfrac{x^2}{3}
-\dfrac{1}{3}\ln(1-x^2)+C
\end{aligned}Модуль в последнем логарифме не требуется, поскольку 1−x2>01-x^2>0 на области определения.
Демидович № 1814 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика