Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1810

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод интегрирования по частям, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\sin x\cdot\ln(\tg x)\,dx

Ответ:

-\cos x\ln(\tg x) +\ln\left|\tg\dfrac{x}{2}\right|+C, \qquad k\pi<x<k\pi+\dfrac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z

На каждом указанном промежутке постоянная

C

выбирается независимо.

Решение

В вещественных числах логарифм определён при

\tg x>0

, то есть на промежутках

k\pi<x<k\pi+\dfrac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z

На каждом таком промежутке

\sin x

\cos x

не равны нулю. Дифференцируя логарифм, получаем

\left(\ln(\tg x)\right)' =\dfrac{1}{\sin x\cos x}

Интегрируем по частям, полагая

u=\ln(\tg x), \qquad dv=\sin x\,dx, \qquad du=\dfrac{dx}{\sin x\cos x}, \qquad v=-\cos x

Тогда

\int\sin x\ln(\tg x)\,dx =-\cos x\ln(\tg x)+\int\dfrac{dx}{\sin x}

Оставшийся интеграл выведем, чтобы не ссылаться на табличную формулу. Подстановка половинного угла удобна, так как выражает и

\sin x

, и

dx

через

t

. Положим

t=\tg\dfrac{x}{2}

Тогда

\sin x=\dfrac{2t}{1+t^2}, \qquad dx=\dfrac{2\,dt}{1+t^2}

и потому

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{\sin x} &=\int\dfrac{dt}{t}=\ln|t|+C =\ln\left|\tg\dfrac{x}{2}\right|+C\end{aligned}

Следовательно,

\int\sin x\ln(\tg x)\,dx =-\cos x\ln(\tg x) +\ln\left|\tg\dfrac{x}{2}\right|+C

Постоянная интегрирования выбирается независимо на каждом промежутке области определения.