Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1797

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод интегрирования по частям, найти следующие интегралы:

Задача 1797

∫x3e−x2 dx\displaystyle\int x^3e^{-x^2}\,dx.
Ответ:−12(x2+1)e−x2+C,x∈R-\dfrac12(x^2+1)e^{-x^2}+C,
\qquad x\in\mathbb R

Решение

Выделим множитель xe−x2 dxxe^{-x^2}\,dx: он сразу интегрируется после замены t=−x2t=-x^2. Оставшийся x2x^2 удобно дифференцировать. Поэтому применим интегрирование по частям, положивu=x2,dv=xe−x2 dx,du=2x dx,v=−12e−x2u=x^2,
\qquad
dv=xe^{-x^2}\,dx,
\qquad
du=2x\,dx,
\qquad
v=-\dfrac12e^{-x^2}Тогда∫x3e−x2 dx=−12x2e−x2+∫xe−x2 dx\int x^3e^{-x^2}\,dx
=-\dfrac12x^2e^{-x^2}+\int xe^{-x^2}\,dxДля оставшегося интеграла положим t=−x2t=-x^2. Тогда dt=−2x dxdt=-2x\,dx, поэтому∫xe−x2 dx=−12∫et dt=−12e−x2\begin{aligned}
\int xe^{-x^2}\,dx
&=-\dfrac12\int e^t\,dt
=-\dfrac12e^{-x^2}
\end{aligned}Следовательно,∫x3e−x2 dx=−12(x2+1)e−x2+C\int x^3e^{-x^2}\,dx
=-\dfrac12(x^2+1)e^{-x^2}+C
Демидович № 1797 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика