Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1817

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{(a^2+x^2)^2}

Ответ:При

a\ne0

\dfrac{x}{2a^2(a^2+x^2)} +\dfrac{1}{2|a|^3}\operatorname{arctg}\dfrac{x}{|a|}+C

При

a=0

-\dfrac{1}{3x^3}+C, \qquad x\ne0

При

a=0

на каждом промежутке области определения постоянная

C

выбирается независимо.

Решение

Считаем параметр

a

действительным. При

a\ne0

удобно обозначить

\alpha=|a|>0

, чтобы не извлекать корень из

a^2

со знаком

a

. Масштабируем переменную:

t=\dfrac{x}{\alpha}, \qquad dx=\alpha\,dt

Тогда

\int\dfrac{dx}{(a^2+x^2)^2} =\dfrac{1}{\alpha^3}\int\dfrac{dt}{(1+t^2)^2}

Замена

t=\tg u

превратит

1+t^2

\dfrac{1}{\cos^2u}

и сократит одну степень знаменателя с

dt

. Положим

t=\tg u, \qquad -\dfrac{\pi}{2}<u<\dfrac{\pi}{2}

При такой замене

dt=\dfrac{du}{\cos^2u}, \qquad 1+t^2=\dfrac{1}{\cos^2u}, \qquad \cos^2u=\dfrac{1+\cos2u}{2}

Кроме того, для возврата к

t

используем

u=\operatorname{arctg}t, \qquad \sin2u=\dfrac{2\tg u}{1+\tg^2u}=\dfrac{2t}{1+t^2}

Поэтому

\begin{aligned} \int\dfrac{dt}{(1+t^2)^2} &=\int\cos^2u\,du =\dfrac{u}{2}+\dfrac{\sin2u}{4}+C=\\ &=\dfrac{1}{2}\operatorname{arctg}t +\dfrac{t}{2(1+t^2)}+C\end{aligned}

Возвращаясь к переменной

x

, получаем при

a\ne0

\int\dfrac{dx}{(a^2+x^2)^2} =\dfrac{x}{2a^2(a^2+x^2)} +\dfrac{1}{2|a|^3}\operatorname{arctg}\dfrac{x}{|a|}+C

Если

a=0

, то подынтегральная функция равна

\dfrac{1}{x^4}

и определена при

x\ne0

. Поэтому

\int\dfrac{dx}{x^4} =-\dfrac{1}{3x^3}+C

В этом случае постоянная

C

выбирается независимо на промежутках

(-\infty;0)

(0;+\infty)