Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1818

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

Задача 1818

∫a2−x2 dx\displaystyle\int\sqrt{a^2-x^2}\,dx.
Ответ:При a≠0a\ne0x2a2−x2+a22arcsin⁡x∣a∣+C,∣x∣<∣a∣\dfrac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}
+\dfrac{a^2}{2}\arcsin\dfrac{x}{|a|}+C,
\qquad
|x|<|a|Формула непрерывно продолжается на концы отрезка [−∣a∣;∣a∣][-|a|;|a|]. При a=0a=0 подынтегральная функция не определена ни на одном невырожденном действительном промежутке.

Решение

Считаем параметр aa действительным. Пусть сначала a≠0a\ne0 и α=∣a∣>0\alpha=|a|>0. Подынтегральная функция принимает действительные значения при ∣x∣⩽α|x|\leqslant\alpha. Чтобы превратить a2−x2a^2-x^2 в квадрат, на ∣x∣<α|x|<\alpha положимx=αsin⁡t,−π2<t<π2x=\alpha\sin t,
\qquad
-\dfrac{\pi}{2}<t<\dfrac{\pi}{2}Тогдаdx=αcos⁡t dt,a2−x2=αcos⁡tdx=\alpha\cos t\,dt,
\qquad
\sqrt{a^2-x^2}=\alpha\cos tСначала интегрируем по tt:∫a2−x2 dx=α2∫cos⁡2t dt==α22t+α24sin⁡2t+C\begin{aligned}
\int\sqrt{a^2-x^2}\,dx
&=\alpha^2\int\cos^2t\,dt=\\
&=\dfrac{\alpha^2}{2}t
+\dfrac{\alpha^2}{4}\sin2t+C
\end{aligned}Для возврата к xx подставляемt=arcsin⁡x∣a∣,sin⁡2t=2sin⁡tcos⁡t=2xa2−x2a2t=\arcsin\dfrac{x}{|a|},
\qquad
\sin2t=2\sin t\cos t
=\dfrac{2x\sqrt{a^2-x^2}}{a^2}Следовательно,∫a2−x2 dx=x2a2−x2+a22arcsin⁡x∣a∣+C\int\sqrt{a^2-x^2}\,dx
=\dfrac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}
+\dfrac{a^2}{2}\arcsin\dfrac{x}{|a|}+CФормула непрерывно продолжается в точки x=−∣a∣x=-|a| и x=∣a∣x=|a|.

Если a=0a=0, корень становится −x2\sqrt{-x^2}. Его значение действительно только при x=0x=0. Невырожденного промежутка для первообразной в этом случае нет.
Демидович № 1818 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика