Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1803

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод интегрирования по частям, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\arcsin x\,dx

Ответ:

x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C, \qquad -1<x<1

Формула непрерывно продолжается к

x=\pm1

Решение

В вещественных числах функция

\arcsin x

определена при

-1\leqslant x\leqslant1

. На промежутке

-1<x<1

интегрируем по частям:

u=\arcsin x, \qquad dv=dx, \qquad du=\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}}, \qquad v=x

Для оставшегося интеграла положим

t=1-x^2, \qquad dt=-2x\,dx

Тогда

\int\dfrac{x\,dx}{\sqrt{1-x^2}} =-\dfrac12\int t^{-\frac12}\,dt =-\sqrt{1-x^2}

По формуле интегрирования по частям получаем

\begin{aligned} \int\arcsin x\,dx &=x\arcsin x-\int\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=\\ &=x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C\end{aligned}

Полученная формула непрерывно продолжается к точкам

x=\pm1