Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1825

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{e^{\arctg x}}{(1+x^2)^{3/2}}\,dx

Ответ:

\dfrac{(x+1)e^{\arctg x}}{2\sqrt{1+x^2}}+C

Решение

Замена

t=\arctg x

превратит экспоненту в

e^t

, а дробь с корнем в

\cos t\,dt

. Положим

t=\arctg x, \qquad -\dfrac{\pi}{2}<t<\dfrac{\pi}{2}

Так как

\cos t>0

на выбранном промежутке, имеем

x=\tg t, \qquad dx=\dfrac{dt}{\cos^2t}, \qquad \sqrt{1+x^2}=\dfrac{1}{\cos t}

Следовательно,

\int\dfrac{e^{\arctg x}}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}\,dx =\int e^t\cos t\,dt

Для вычисления введём обозначения

L=\int e^t\cos t\,dt, \qquad K=\int e^t\sin t\,dt

В обоих интегралах дифференцируем синус или косинус и интегрируем экспоненту. Сначала найдём по одной первообразной; постоянную добавим в конце:

L=e^t\cos t+K, \qquad K=e^t\sin t-L

Подставляя выражение для

K

в первое равенство, получаем

\begin{aligned} L &=e^t\cos t+\int e^t\sin t\,dt =e^t(\cos t+\sin t)-L\end{aligned}

Следовательно,

L=\dfrac{e^t}{2}(\sin t+\cos t)+C

Возвращаясь к переменной

x

, имеем

\int\dfrac{e^{\arctg x}}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}\,dx =\dfrac{(x+1)e^{\arctg x}}{2\sqrt{1+x^2}}+C