Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1802

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод интегрирования по частям, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\arctg x\,dx

Ответ:

x\arctg x-\dfrac{1}{2}\ln(1+x^2)+C

Решение

Функция

\arctg x

определена при всех

x\in\mathbb R

. Её производная

\dfrac{1}{1+x^2}

проще исходной функции, поэтому интегрируем по частям, полагая

u=\arctg x, \qquad dv=dx, \qquad du=\dfrac{dx}{1+x^2}, \qquad v=x

Тогда

\begin{aligned} \int\arctg x\,dx &=x\arctg x-\int\dfrac{x}{1+x^2}\,dx=\\ &=x\arctg x-\dfrac{1}{2}\ln(1+x^2)+C\end{aligned}

Во втором интеграле использовано

d(1+x^2)=2x\,dx

; выражение

1+x^2

положительно.