Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1786

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя гиперболические подстановки

x=a\sh t

x=a\ch t

и т. п., найти следующие интегралы (параметры положительны):

\displaystyle\int\sqrt{a^2+x^2}\,dx

Ответ:

\dfrac{1}{2}\left( x\sqrt{a^2+x^2} +a^2\ln\left(x+\sqrt{a^2+x^2}\right) \right)+C, \qquad a>0

Решение

Пусть

a>0

. Тождество

1+\operatorname{sh}^2t=\operatorname{ch}^2t

позволяет убрать корень из

a^2+x^2

. Положим

x=a\operatorname{sh}t, \qquad -\infty<t<+\infty

Тогда

dx=a\operatorname{ch}t\,dt, \qquad \sqrt{a^2+x^2}=a\operatorname{ch}t

Следовательно,

\begin{aligned} \int\sqrt{a^2+x^2}\,dx &=a^2\int\dfrac{1+\operatorname{ch}2t}{2}\,dt=\\ &=\dfrac{a^2}{2} \bigl(t+\operatorname{sh}t\operatorname{ch}t\bigr)+C\end{aligned}

При этом

\operatorname{sh}t=\dfrac{x}{a}, \qquad \operatorname{ch}t=\dfrac{\sqrt{a^2+x^2}}{a}

Чтобы выразить сам

t

через

x

, используем тождество

e^t=\operatorname{ch}t+\operatorname{sh}t

, следующее из определений гиперболических функций. Подставляя найденные значения, получаем

e^t=\dfrac{x+\sqrt{a^2+x^2}}{a}, \qquad t=\ln\dfrac{x+\sqrt{a^2+x^2}}{a}

Слагаемое

-\dfrac{a^2}{2}\ln a

включаем в

C

. После возвращения к переменной

x

получаем

\int\sqrt{a^2+x^2}\,dx =\dfrac{1}{2}\left( x\sqrt{a^2+x^2} +a^2\ln\left(x+\sqrt{a^2+x^2}\right) \right)+C

Аргумент логарифма положителен при всех

x\in\mathbb R