Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1816

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{x^2}{(1+x^2)^2}\,dx

Ответ:

\dfrac{1}{2}\operatorname{arctg}x -\dfrac{x}{2(1+x^2)}+C

Решение

Чтобы убрать квадрат знаменателя, проверим производную дроби

\dfrac{x}{1+x^2}

. По правилу производной частного

\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{x}{1+x^2}\right) =\dfrac{1-x^2}{(1+x^2)^2}

Вычитая эту производную из

\dfrac{1}{1+x^2}

и приводя к общему знаменателю, получаем

\begin{aligned} \dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{1-x^2}{(1+x^2)^2} &=\dfrac{(1+x^2)-(1-x^2)}{(1+x^2)^2}=\\ &=\dfrac{2x^2}{(1+x^2)^2}\end{aligned}

Значит,

\dfrac{x^2}{(1+x^2)^2} =\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{1+x^2} -\dfrac{d}{dx}\dfrac{x}{1+x^2} \right)

Интегрируя, получаем

\int\dfrac{x^2}{(1+x^2)^2}\,dx =\dfrac{1}{2}\operatorname{arctg}x -\dfrac{x}{2(1+x^2)}+C