Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1806

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод интегрирования по частям, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{\arcsin x}{x^2}\,dx

Ответ:

-\dfrac{\arcsin x}{x} +\ln\left|\dfrac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}\right|+C, \qquad 0<|x|<1

На промежутках

(-1,0)

(0,1)

постоянная

C

выбирается независимо; формула непрерывно продолжается к

x=\pm1

Решение

Подынтегральная функция определена при

-1\leqslant x<0

или

0<x\leqslant1

. На каждом из промежутков

(-1,0)

(0,1)

интегрируем по частям:

u=\arcsin x, \qquad dv=\dfrac{dx}{x^2}, \qquad du=\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}}, \qquad v=-\dfrac{1}{x}

Получаем

\int\dfrac{\arcsin x}{x^2}\,dx =-\dfrac{\arcsin x}{x} +\int\dfrac{dx}{x\sqrt{1-x^2}}

Для вычисления оставшегося интеграла положим

t=\sqrt{1-x^2}

. Тогда

dt=-\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx, \qquad x^2=1-t^2

Разложим дробь: после приведения слагаемых справа к общему знаменателю получим исходную дробь

\dfrac{1}{1-t^2} =\dfrac12\left(\dfrac{1}{1-t}+\dfrac{1}{1+t}\right)

Поэтому

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{x\sqrt{1-x^2}} &=-\int\dfrac{dt}{1-t^2}=\\ &=\dfrac{1}{2}\ln\left|\dfrac{1-t}{1+t}\right|+C\end{aligned}

Вернёмся к

x

. Из равенства

x^2=(1-t)(1+t)

следует

\dfrac{1-t}{1+t} =\dfrac{x^2}{(1+t)^2}, \qquad \dfrac12\ln\left|\dfrac{1-t}{1+t}\right| =\ln\left|\dfrac{x}{1+t}\right|

Следовательно,

\int\dfrac{\arcsin x}{x^2}\,dx =-\dfrac{\arcsin x}{x} +\ln\left|\dfrac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}\right|+C

Постоянная интегрирования выбирается независимо на промежутках

(-1,0)

(0,1)

. Формула непрерывно продолжается к

x=-1

x=1