Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1809

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод интегрирования по частям, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\arctg\sqrt x\,dx

Ответ:

(x+1)\arctg\sqrt{x}-\sqrt{x}+C, \qquad x\geqslant0

Решение

В вещественных числах подынтегральная функция определена при

x\geqslant0

. Положим

t=\sqrt{x}, \qquad x=t^2, \qquad dx=2t\,dt

После замены получаем

2\int t\arctg t\,dt

. В интегрировании по частям выбираем

u=\arctg t

: его производная превратит оставшийся интеграл в рациональный. Полагаем

u=\arctg t, \qquad dv=2t\,dt, \qquad du=\dfrac{dt}{1+t^2}, \qquad v=t^2

Используем также разложение

\dfrac{t^2}{1+t^2}=1-\dfrac{1}{1+t^2}

Тогда

\begin{aligned} \int\arctg\sqrt{x}\,dx &=2\int t\arctg t\,dt=\\ &=t^2\arctg t-\int\dfrac{t^2}{1+t^2}\,dt=\\ &=t^2\arctg t-\int\left(1-\dfrac{1}{1+t^2}\right)dt=\\ &=t^2\arctg t-t+\arctg t+C=\\ &=(x+1)\arctg\sqrt{x}-\sqrt{x}+C\end{aligned}

Формула получена при

x>0

и непрерывно продолжается к

x=0

. При

x>0

сокращаются два слагаемых от производной корня:

\left((x+1)\arctg\sqrt x-\sqrt x\right)' =\arctg\sqrt x+\dfrac{1}{2\sqrt x}-\dfrac{1}{2\sqrt x} =\arctg\sqrt x

Так как

\arctg\sqrt x\to0

при

x\to0+

, по теореме Лагранжа правая производная полученной первообразной в точке

0

равна

0

. Это значение подынтегральной функции.