Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1794

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод интегрирования по частям, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\sqrt x\,\ln^2x\,dx

Ответ:

\dfrac23x^{\frac{3}{2}}\ln^2 x -\dfrac89x^{\frac{3}{2}}\ln x +\dfrac{16}{27}x^{\frac{3}{2}}+C, \qquad x>0

Решение

Подынтегральная функция определена при

x>0

. Чтобы понизить степень логарифма, возьмём

\ln^2x

за

u

. Обозначим исходный интеграл через

I

и положим

u=\ln^2 x, \qquad dv=\sqrt{x}\,dx, \qquad du=\dfrac{2\ln x}{x}\,dx, \qquad v=\dfrac23x^{\frac{3}{2}}

Тогда

I=\dfrac23x^{\frac{3}{2}}\ln^2 x -\dfrac43\int\sqrt{x}\ln x\,dx

Обозначим оставшийся интеграл через

J

. Ещё раз применим интегрирование по частям, положив

u=\ln x, \qquad dv=\sqrt{x}\,dx, \qquad du=\dfrac{dx}{x}, \qquad v=\dfrac23x^{\frac{3}{2}}

Тогда

\begin{aligned} J=\int\sqrt{x}\ln x\,dx &=\dfrac23x^{\frac{3}{2}}\ln x -\dfrac23\int\sqrt{x}\,dx=\\ &=\dfrac23x^{\frac{3}{2}}\ln x -\dfrac49x^{\frac{3}{2}}\end{aligned}

Подставляя найденное выражение для

J

, имеем

\begin{aligned} I &=\dfrac23x^{\frac{3}{2}}\ln^2 x -\dfrac89x^{\frac{3}{2}}\ln x +\dfrac{16}{27}x^{\frac{3}{2}}+C\end{aligned}