Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1792

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод интегрирования по частям, найти следующие интегралы:

Задача 1792

∫xnln⁡x dx\displaystyle\int x^n\ln x\,dx (n≠−1)(n\ne-1).
Ответ:xn+1ln⁡xn+1−xn+1(n+1)2+C,x>0, n≠−1\dfrac{x^{n+1}\ln x}{n+1}-\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)^2}+C,\qquad x>0,\ n\ne-1

Решение

При x>0x>0 интегрируем по частям: u=ln⁡xu=\ln x, dv=xn dxdv=x^n\,dx. По условию n≠−1n\ne-1, поэтомуdu=dxx,v=xn+1n+1du=\dfrac{dx}{x},\qquad v=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}Отсюда∫xnln⁡x dx=xn+1ln⁡xn+1−1n+1∫xn dx=xn+1ln⁡xn+1−xn+1(n+1)2+C\int x^n\ln x\,dx
=\dfrac{x^{n+1}\ln x}{n+1}-\dfrac1{n+1}\int x^n\,dx
=\dfrac{x^{n+1}\ln x}{n+1}-\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)^2}+CДополнительного ограничения n≠1n\ne1 не требуется.
Демидович № 1792 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика