Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1781

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя тригонометрические подстановки

x=a\sin t

x=a\tg t

x=a\sin^2t

и т. п., найти следующие интегралы (параметры положительны):

\displaystyle\int\frac{dx}{(x^2+a^2)^{3/2}}

Ответ:

\dfrac{x}{a^2\sqrt{x^2+a^2}}+C, \qquad x\in\mathbb R, \quad a>0

Решение

Согласно условию

a>0

. Поскольку

1+\tg^2t=\dfrac{1}{\cos^2t}

, используем подстановку

x=a\tg t, \qquad -\dfrac{\pi}{2}<t<\dfrac{\pi}{2}

Тогда

\begin{aligned} dx&=\dfrac{a}{\cos^2t}\,dt,\\ x^2+a^2&=\dfrac{a^2}{\cos^2t}, \qquad \sqrt{x^2+a^2}=\dfrac{a}{\cos t}\end{aligned}

Здесь

\cos t>0

. Следовательно,

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{(x^2+a^2)^{\frac{3}{2}}} &=\dfrac{1}{a^2}\int\cos t\,dt =\dfrac{1}{a^2}\sin t+C=\\ &=\dfrac{x}{a^2\sqrt{x^2+a^2}}+C\end{aligned}

В последнем равенстве использовано

\sin t=\tg t\cos t=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}