Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1805

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод интегрирования по частям, найти следующие интегралы:

Задача 1805

∫x2arccos⁡x dx\displaystyle\int x^2\arccos x\,dx.
Ответ:x33arccos⁡x−x2+291−x2+C,−1<x<1\dfrac{x^3}{3}\arccos x
-\dfrac{x^2+2}{9}\sqrt{1-x^2}+C,
\qquad
-1<x<1Формула непрерывно продолжается к x=±1x=\pm1.

Решение

В вещественных числах функция arccos⁡x\arccos x определена при −1⩽x⩽1-1\leqslant x\leqslant1. На промежутке −1<x<1-1<x<1 интегрируем по частям:u=arccos⁡x,dv=x2 dx,du=−dx1−x2,v=x33u=\arccos x,
\qquad
dv=x^2\,dx,
\qquad
du=-\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}},
\qquad
v=\dfrac{x^3}{3}Следовательно,∫x2arccos⁡x dx=x33arccos⁡x+13∫x31−x2 dx\int x^2\arccos x\,dx
=\dfrac{x^3}{3}\arccos x
+\dfrac{1}{3}\int\dfrac{x^3}{\sqrt{1-x^2}}\,dxВ оставшемся интеграле выделим x dxx\,dx: это часть дифференциала 1−x21-x^2. Положимt=1−x2,dt=−2x dx,x2=1−tt=1-x^2,
\qquad
dt=-2x\,dx,
\qquad
x^2=1-tТогда∫x31−x2 dx=−12∫(1−t)t−12 dt==−t+13t32+C==−1−x2+13(1−x2)32+C\begin{aligned}
\int\dfrac{x^3}{\sqrt{1-x^2}}\,dx
&=-\dfrac{1}{2}\int(1-t)t^{-\frac{1}{2}}\,dt=\\
&=-\sqrt{t}+\dfrac{1}{3}t^{\frac{3}{2}}+C=\\
&=-\sqrt{1-x^2}+\dfrac{1}{3}(1-x^2)^{\frac{3}{2}}+C
\end{aligned}Подставляем найденный интеграл и выносим общий множитель 1−x2\sqrt{1-x^2}:∫x2arccos⁡x dx=x33arccos⁡x+(−13+1−x29)1−x2+C==x33arccos⁡x−x2+291−x2+C\begin{aligned}
\int x^2\arccos x\,dx
&=\dfrac{x^3}{3}\arccos x
+\left(-\dfrac13+\dfrac{1-x^2}{9}\right)\sqrt{1-x^2}+C=\\
&=\dfrac{x^3}{3}\arccos x
-\dfrac{x^2+2}{9}\sqrt{1-x^2}+C
\end{aligned}Полученная формула непрерывно продолжается к точкам x=±1x=\pm1.
Демидович № 1805 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика