Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1826

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\sin(\ln x)\,dx

Ответ:

\dfrac{x}{2}\bigl(\sin(\ln x)-\cos(\ln x)\bigr)+C, \qquad x>0

Решение

Область определения подынтегральной функции задаётся условием

x>0

. Положим

t=\ln x, \qquad x=e^t, \qquad dx=e^t\,dt

После замены обозначим

K=\int e^t\sin t\,dt, \qquad L=\int e^t\cos t\,dt

Дифференцируя синус или косинус и интегрируя экспоненту по частям, находим по одной первообразной (постоянную добавим в конце):

K=e^t\sin t-L, \qquad L=e^t\cos t+K

Подставим второе равенство в первое:

\begin{aligned} K&=\int e^t\sin t\,dt =e^t\sin t-\int e^t\cos t\,dt =e^t(\sin t-\cos t)-K\end{aligned}

Следовательно,

\begin{aligned} \int\sin(\ln x)\,dx &=\dfrac{e^t}{2}(\sin t-\cos t)+C=\\ &=\dfrac{x}{2}\bigl(\sin(\ln x)-\cos(\ln x)\bigr)+C\end{aligned}