Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1823

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

\displaystyle\int x\sin\sqrt x\,dx

Ответ:

2\sqrt{x}(6-x)\cos\sqrt{x} +6(x-2)\sin\sqrt{x}+C, \qquad x>0

Полная область определения подынтегральной функции есть

[0,+\infty)

; полученная формула непрерывно продолжается в точку

x=0

Решение

Подынтегральная функция определена при

x\geqslant0

. На промежутке

x>0

положим

t=\sqrt{x}, \qquad x=t^2, \qquad dx=2t\,dt

Тогда

\int x\sin\sqrt{x}\,dx=2\int t^3\sin t\,dt

В интеграле по

t

дифференцируем многочлен: его степень после каждого применения формулы уменьшается. Сначала выбираем

u=t^3, \qquad dv=\sin t\,dt, \qquad v=-\cos t

В оставшемся интеграле выбираем

u=t^2

dv=\cos t\,dt

. Получаем

\begin{aligned} \int t^3\sin t\,dt &=-t^3\cos t+3\int t^2\cos t\,dt=\\ &=-t^3\cos t+3t^2\sin t-6\int t\sin t\,dt=\\ &=-t^3\cos t+3t^2\sin t +6t\cos t-6\sin t+C\end{aligned}

Последний интеграл также вычисляем по частям:

\int t\sin t\,dt=-t\cos t+\sin t

Возвращаясь к

t=\sqrt{x}

, имеем

\begin{aligned} \int x\sin\sqrt{x}\,dx &=-2x\sqrt{x}\cos\sqrt{x}+6x\sin\sqrt{x}\\ &\quad+12\sqrt{x}\cos\sqrt{x}-12\sin\sqrt{x}+C=\\ &=2\sqrt{x}(6-x)\cos\sqrt{x} +6(x-2)\sin\sqrt{x}+C\end{aligned}

Формула непрерывно продолжается в допустимую точку

x=0