Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1789

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя гиперболические подстановки x=ash⁡tx=a\sh t, x=ach⁡tx=a\ch t и т. п., найти следующие интегралы (параметры положительны):

Задача 1789

∫dx(x+a)(x+b)\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{(x+a)(x+b)}}.
Ответ:При a≠ba\ne b{ln⁡∣2x+a+b+2(x+a)(x+b)∣+C−,x<−max⁡(a,b)ln⁡∣2x+a+b+2(x+a)(x+b)∣+C+,x>−min⁡(a,b)\begin{cases}
\ln\left|
2x+a+b+2\sqrt{(x+a)(x+b)}
\right|+C_{-},
&x<-\max(a,b)\\[1ex]
\ln\left|
2x+a+b+2\sqrt{(x+a)(x+b)}
\right|+C_{+},
&x>-\min(a,b)
\end{cases}При a=ba=b{−ln⁡∣x+a∣+C−,x<−aln⁡∣x+a∣+C+,x>−a\begin{cases}
-\ln|x+a|+C_{-},
&x<-a\\[1ex]
\ln|x+a|+C_{+},
&x>-a
\end{cases}Во всех случаях предполагается a>0a>0 и b>0b>0.

Решение

Пусть a>0a>0 и b>0b>0. Сначала считаем a≠ba\ne b и полагаемu=x+a+b2,d=∣b−a∣2>0u=x+\dfrac{a+b}{2},
\qquad
d=\dfrac{|b-a|}{2}>0Тогда(x+a)(x+b)=u2−d2,du=dx(x+a)(x+b)=u^2-d^2,
\qquad
du=dxЗнаменатель корня должен быть отличен от нуля, поэтому u2−d2>0u^2-d^2>0, то есть u>du>d или u<−du<-d. Сначала рассмотрим правый промежуток u>du>d. Положимu=dch⁡t,t>0u=d\operatorname{ch}t,
\qquad
t>0Тогдаdu=dsh⁡t dt,u2−d2=dsh⁡tdu=d\operatorname{sh}t\,dt,
\qquad
\sqrt{u^2-d^2}=d\operatorname{sh}tи потому∫duu2−d2=∫dt=t+C\int\dfrac{du}{\sqrt{u^2-d^2}}
=\int dt=t+CОбозначим s=u2−d2s=\sqrt{u^2-d^2}. На правом промежуткеu+s=d(ch⁡t+sh⁡t)=detu+s
=d\bigl(\operatorname{ch}t+\operatorname{sh}t\bigr)
=de^tСледовательно,t=ln⁡u+sdt=\ln\dfrac{u+s}{d}Теперь рассмотрим левый промежуток u<−du<-d и положимu=−dch⁡t,t>0u=-d\operatorname{ch}t,
\qquad
t>0В этом случаеdu=−dsh⁡t dt,u2−d2=dsh⁡tdu=-d\operatorname{sh}t\,dt,
\qquad
\sqrt{u^2-d^2}=d\operatorname{sh}tпоэтому∫duu2−d2=−∫dt=−t+C\int\dfrac{du}{\sqrt{u^2-d^2}}
=-\int dt=-t+CКроме того,∣u+s∣=∣−dch⁡t+dsh⁡t∣==d(ch⁡t−sh⁡t)=de−t\begin{aligned}
|u+s|
&=\left|-d\operatorname{ch}t+d\operatorname{sh}t\right|=\\
&=d\bigl(\operatorname{ch}t-\operatorname{sh}t\bigr)
=de^{-t}
\end{aligned}Отсюда−t=ln⁡∣u+s∣d-t=\ln\dfrac{|u+s|}{d}Итак, на обоих промежутках, включая постоянное слагаемое −ln⁡d-\ln d в CC, получаем∫duu2−d2=ln⁡∣u+u2−d2∣+C\int\dfrac{du}{\sqrt{u^2-d^2}}
=\ln\left|u+\sqrt{u^2-d^2}\right|+CВозвращаясь к переменной xx, получаем∫dx(x+a)(x+b)=ln⁡∣2x+a+b+2(x+a)(x+b)∣+C\int\dfrac{dx}{\sqrt{(x+a)(x+b)}}
=\ln\left|
2x+a+b+2\sqrt{(x+a)(x+b)}
\right|+CПри a≠ba\ne b знаменатель отличен от нуля на промежуткахx<−max⁡(a,b)илиx>−min⁡(a,b)x<-\max(a,b)
\quad\text{или}\quad
x>-\min(a,b)и постоянные интегрирования на них могут быть различными.

Если a=ba=b, подкоренное выражение равно (x+a)2(x+a)^2. На двух промежутках по разные стороны от −a-a имеем∣x+a∣={x+a,x>−a−(x+a),x<−a|x+a|=
\begin{cases}
x+a, & x>-a\\
-(x+a), & x<-a
\end{cases}Поэтому∫dx∣x+a∣={ln⁡∣x+a∣+C+,x>−a−ln⁡∣x+a∣+C−,x<−a\int\dfrac{dx}{|x+a|}
=
\begin{cases}
\ln|x+a|+C_{+}, & x>-a\\[4pt]
-\ln|x+a|+C_{-}, & x<-a
\end{cases}
Демидович № 1789 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика