Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1787

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя гиперболические подстановки

x=a\sh t

x=a\ch t

и т. п., найти следующие интегралы (параметры положительны):

\displaystyle\int\frac{x^2\,dx}{\sqrt{a^2+x^2}}

Ответ:

\dfrac{1}{2}\left( x\sqrt{a^2+x^2} -a^2\ln\left(x+\sqrt{a^2+x^2}\right) \right)+C, \qquad a>0

Решение

При

a>0

снова используем

1+\operatorname{sh}^2t=\operatorname{ch}^2t

и положим

x=a\operatorname{sh}t

Тогда

dx=a\operatorname{ch}t\,dt

\sqrt{a^2+x^2}=a\operatorname{ch}t

. Поэтому

\begin{aligned} \int\dfrac{x^2\,dx}{\sqrt{a^2+x^2}} &=a^2\int\dfrac{\operatorname{ch}2t-1}{2}\,dt=\\ &=\dfrac{a^2}{2} \bigl(\operatorname{sh}t\operatorname{ch}t-t\bigr)+C\end{aligned}

Из исходной замены следует

\operatorname{sh}t=\dfrac{x}{a}, \qquad \operatorname{ch}t=\dfrac{\sqrt{a^2+x^2}}{a}

Для возврата от

t

x

применим тождество

e^t=\operatorname{ch}t+\operatorname{sh}t

. Оно следует из определений гиперболического синуса и косинуса. Поэтому

e^t=\dfrac{x+\sqrt{a^2+x^2}}{a}, \qquad t=\ln\dfrac{x+\sqrt{a^2+x^2}}{a}

Слагаемое

\frac{a^2}{2}\ln a

, возникающее при раскрытии логарифма, включаем в

C

. После подстановки получаем

\int\dfrac{x^2\,dx}{\sqrt{a^2+x^2}} =\dfrac{1}{2}\left( x\sqrt{a^2+x^2} -a^2\ln\left(x+\sqrt{a^2+x^2}\right) \right)+C

Поскольку

a>0

, имеем

\sqrt{a^2+x^2}>|x|

. Следовательно,

x+\sqrt{a^2+x^2}>0

, и логарифм определён при всех

x\in\mathbb R